パラメトリック方程式(パラメトリックほうていしき、英: parametric equation)とは、関数を媒介変数(パラメータ)を使って表したもの、またはその手法である。単純な運動学的例として、時間を媒介変数として位置、速度、その他の運動体に関する情報を表す場合が挙げられる。
抽象的には、関係は1つの方程式の形で表され、ユークリッド空間 Rn の項からなる関数のイメージとしても表される。したがって、より正確には媒介変数表示(英: parametric representation)として定義される。 例として、最も単純な方程式として次の放物線の式を考える。 y = x 2 {\displaystyle y=x^{2}\,} これを自由な媒介変数 t を使って次のようにも表せる。 x = t {\displaystyle x=t\,} y = t 2 {\displaystyle y=t^{2}\,} これはやや自明な例だが、半径 a の円をパラメトリックに表すと次のようになる。 x = a cos ( t ) {\displaystyle x=a\cos(t)\,} y = a sin ( t ) {\displaystyle y=a\sin(t)\,} パラメトリック方程式は、高次元空間での曲線を表すのに便利である。例えば、 x = a cos ( t ) {\displaystyle x=a\cos(t)\,} y = a sin ( t ) {\displaystyle y=a\sin(t)\,} z = b t {\displaystyle z=bt\,} これは3次元の螺旋状の曲線を表しており、半径が a で、1周するごとに 2πb だけ上昇する。なお、z値を除くと円の方程式と全く同じである点に注意。 この方程式を次のように表記することも多い。 r ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) = ( a cos ( t ) , a sin ( t ) , b t ) {\displaystyle r(t)=(x(t),y(t),z(t))=(a\cos(t),a\sin(t),bt)\,} このように曲線を表現することは実用的であり、効率的である。例えば、そのような曲線を項ごとに積分・微分できる。したがって、媒介変数表示された経路を通る粒子があるとき、その速度は次のように表せる。 v ( t ) = r ′ ( t ) = ( x ′ ( t ) , y ′ ( t ) , z ′ ( t ) ) = ( − a sin ( t ) , a cos ( t ) , b ) {\displaystyle v(t)=r'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t))=(-a\sin(t),a\cos(t),b)\,} さらに加速度は次のようになる。 a ( t ) = r ″ ( t ) = ( x ″ ( t ) , y ″ ( t ) , z ″ ( t ) ) = ( − a cos ( t ) , − a sin ( t ) , 0 ) {\displaystyle a(t)=r''(t)=(x''(t),y''(t),z''(t))=(-a\cos(t),-a\sin(t),0)\,} 一般にパラメトリック曲線 パラメトリック方程式を1つの方程式に変換するとは、並列する方程式群 x = x ( t ) , y = y ( t ) {\displaystyle x=x(t),\ y=y(t)} から媒介変数 t {\displaystyle t} を取り除くことに他ならない。これらの方程式のうちの1つを t {\displaystyle t} について解くことができれば、その式をもう一方の方程式に代入し、 x {\displaystyle x} と y {\displaystyle y} だけから成る方程式が得られる。 x ( t ) {\displaystyle x(t)} と y ( t ) {\displaystyle y(t)} が有理関数なら、tを取り除くのは容易である。パラメトリック方程式と等価な閉形式の1つの方程式が存在しない場合もある[1]。
例
2つのパラメトリック方程式から1つの方程式への変換
関連項目
曲線
脚注・出典
外部リンク
Graphing Software - Curlie(英語)
更新日時:2022年9月1日(木)04:07
取得日時:2022/10/18 09:34