環論とホモロジー代数において、環 A の左（右）大局次元あるいは大域次元（英: global dimension）（または大局ホモロジー次元（英: global homological dimension）、ときには単にホモロジー次元（英: homological dimension）と呼ばれる）は、すべての左（右） A-加群の射影次元の集合の上限として定義される環のホモロジー的不変量である。それは非負の整数か無限大に値をとり l. gl. dim A （r. gl. dim A ）と書かれる。さらに両者が一致するときには単に大局次元と言い gl. dim A と書かれる。
一般の非可換環 A に対しては左と右の大局次元は異なるかもしれない[1]。しかしながら、A が左かつ右ネーター環であれば、これらの大局次元は両方とも、定義が左右対称的な弱大局次元に等しいことがわかる[2]。したがって、左かつ右ネーター環に対しては、両者は一致し、大局次元について話すことが正当化される。
大局次元は可換ネーター環の次元論で重要な技術的概念である。 A = k[x1, ..., xn] を体 k 上の n 変数多項式環とする。このとき A の大局次元は n と等しい[3]。このステートメントはダフィット・ヒルベルトによる多項式環のホモロジー的性質の基礎的な研究にさかのぼる。ヒルベルトのsyzygy定理
例
自然数 n が平方因子を持たないときには環 Z/nZ の大局次元は無限大である[4]。
体 k の標数が有限群 G の位数を割り切るとき群環 kG の左大局次元は無限大である[4]。
1次のワイル代数 A1 は大局次元 1 の非可換ネーター整域である。 環 A の右大局次元は次の数と等しい[5]。 A の左大局次元は上記リストの「右」を「左」にとりかえることによって得られる同様の特徴づけをもつ。 環の左または右大局次元が 0 であることと半単純であることは同値である[6]。 環 A の左（右）大局次元が1以下であることと A が左（右）遺伝環であることは同値である[7]。とくに、体でない可換単項イデアル整域は大局次元 1 をもつ。 ジャン＝ピエール・セールは次のことを証明した。可換ネーター局所環 A が正則であるのは大局次元が有限のとき、かつそのときに限る[8]。さらにこのとき、大局次元は A のクルル次元と一致する。この定理によってホモロジー的手法を可換代数に応用する扉が開かれた。
大局次元の特徴づけ
すべての巡回右 A-加群の射影次元の集合の上限
すべての右 A-加群の射影次元の集合の上限
すべての右 A-加群の移入次元の集合の上限
sup{ d?0 : Extd(M, N) ≠ 0 for some M, N ∈ Mod A }
大局次元による特徴づけ
脚注^ Rotman 2009, p. 459.
^ Weibel 1994, Exercise 4.1.1.
^ Weibel 1994, Corollary 4.3.8 (Hilbert's theorem on syzygies).
^ a b Rotman 2009, Exercise 8.2
^ Weibel 1994, Theorem 4.1.2.
^ Weibel 1994, Theorem 4.2.2.
^ Weibel 1994, Theorem 4.2.11.
^ Matsumura 1989, Theorem 19.2 (Serre).
参考文献
Matsumura, Hideyuki (1989), Commutative Ring Theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 8, Cambridge University Press, .mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation.cs-ja1 q,.mw-parser-output .citation.cs-ja2 q{quotes:"「""」""『""』"}.mw-parser-output .citation:target{background-color:rgba(0,127,255,0.133)}.mw-parser-output .id-lock-free a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-subscription a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-subscription a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Lock-red-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/Wikisource-logo.svg")right 0.1em center/12px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:none;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;color:#d33}.mw-parser-output .cs1-visible-error{color:#d33}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:#3a3;margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}.mw-parser-output .cs1-kern-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right{padding-right:0.2em}.mw-parser-output .citation .mw-selflink{font-weight:inherit}ISBN 0-521-36764-6, Zbl 00043569
Rotman, Joseph J. (2009). An Introduction to Homological Algebra. Universitext (Second ed.). Springer. ISBN 978-0-387-24527-0. Zbl 1157.18001. https://books.google.com/books?id=P2HV4f8gyCgC&pg=PA453
Weibel, Charles A. (1994). An Introduction to Homological Algebra. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 38. Cambridge University Press. ISBN 0-521-43500-5. Zbl 0797.18001. https://books.google.com/books?id=flm-dBXfZ_gC&pg=PA91
岩永, 恭雄、佐藤, 眞久『 ⇒環と加群のホモロジー代数的理論』（第1版）日本評論社、2002年。ISBN 978-4-535-78367-6。 ⇒http://www.nippyo.co.jp/book/1984.html。
松村, 英之『可換環論』（復刊）共立出版株式会社、2000年。ISBN 4-320-01658-0。
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関連項目
射影次元
移入次元
弱大局次元
クルル次元