数学の一分野である圏論において中核的な概念を成す圏（けん、英: category）は、数学的構造を取り扱うための枠組みであり、数学的対象をあらわす対象とそれらの間の関係を表す射の集まりによって与えられる。圏はそれ自体、群に類似した代数的構造として理解することができる

二つの圏が等しい（相等）とは、それらの対象の集まりが等しく、かつそれら対象の間の射の集まりが等しく、さらにそれら射の対の結合の仕方が相等となることを言う。圏論の目的に照らせば、圏がまったく相等しいことは非常に強すぎる条件であり（それよりも緩い圏同型（英語版）でさえ強すぎる）、圏同値がしばしば考慮される（二つの圏が同値であるとは、大まかに言えば圏の相等において等式で与えられる関係を、それぞれの圏における同型で置き換えたものとして与えられる）。

圏論が初めて現れるのは Eilenberg–Mac Lane, General Theory of Natural Equivalences (1945) と題された論文である[1]。古典的だが今もなお広く用いられる教科書として、マクレーンの Categories for the Working Mathematician（英語版）[注釈 1]がある。

群に似た構造
全域性結合性単位的可逆的
群YesYesYesYes
モノイドYesYesYesNo
半群YesYesNoNo
ループYesNoYesYes
準群YesNoNoYes
マグマYesNoNoNo
亜群NoYesYesYes
圏NoYesYesNo

目次

1 定義

2 例

3 諸定義

4 圏の種類

5 関手

6 高次圏

7 空間を圏で表す

8 歴史

9 注

9.1 注釈

9.2 出典


10 参考文献

11 外部リンク

定義

圏の定義にはいくつか同値なものが存在する[2]が、よく用いられるものの一つを以下に示す。圏 C は以下のものからなる:

対象の類 ob(C)

対象の間の射の類 hom(C)

各射 f ∈ hom(C) には始域と呼ばれる対象 a ∈ Ob(C) および終域と呼ばれる対象 b ∈ ob(C) が付随して、"f は a から b への射である" と言い、f: a → b と書き表す。

a から b への射の類 (hom-class; ホム類) hom(a, b) は a から b への射全体の成す類を言う。

このとき、任意の三対象 a, b, c ∈ ob(C) に対し、射の合成と呼ばれる二項演算 hom(a, b) × hom(b, c) → hom(a, c); (f, g) ? g ? f が存在して以下の公理を満足する:

結合律: f: a → b, g: b → c, h: c → d ならば h ? (g ? f) = (h ? g) ? f が成り立つ。

単位律: 各対象 x ∈ ob(C) に対して x の恒等射と呼ばれる自己射 idx = 1x: x → x が存在して、任意の射 f: a → x および g: x → b に対して 1x ? f = f and g ? 1x = g を満たす。

これらの公理から、各対象に対して恒等射はただ一つ存在することが示せる。文献によっては各対象を対応する恒等射と同一視して、対象の存在を陽に仮定しない定義を採用するものもある。
記法についての注意


一般の圏を表すのに、しばしばラテン大文字の太字 C, D, … や、ラテン大文字のカリグラフ体 ?, ?, ?, … などが用いられる。特定の圏は、その対象を表す単語（の省略形）を用いて同様の仕方であらわす。例えば集合の圏 Set, ??? や体の圏 Field, ????? 位相空間の圏 Top, ???, 束の圏 Bdl, ??? のような具合である。

圏 C の射の類 hom(C) は mor(C) や arr(C) などとも書く。同様に対象 a, b ∈ ob(C) に対する射の類も mor(a, b) や arr(a, b) などとも書かれる。どの圏で射を考えているか紛らわしいときには、homC(a, b) や morC(a, b) のように圏を明示することもできる。より簡便な記法では、圏 C の対象の類を |C| で表し、射の類を記号の濫用だが C で表す（この場合 a から b への射の類は単に C(a, b) と書く）。

射の合成を g ? f で（あるいは単に併置 gf で）表すのは写像とその合成の慣習に合わせたものだが、文献によっては「図式順」で f;g や fg と書くものもある[注釈 2]。

圏の大きさ
圏 C が小さい (small) とは、対象の類 ob(C) および射の類 hom(C) がともに集合となる（つまり真の類でない）ときに言い、さもなくば大きい (large) と言う。射の類が集合とならずとも、任意の二対象 a, b ∈ ob(C) をとるごとに、射の類 hom(a, b) が集合となるならば（hom(a, b) を射集合、ホム集合などと呼び）、その圏は局所的に小さい (locally small) と言う[3]。集合の圏など数学における重要な圏の多くは、小さくないとしても、少なくとも局所的に小さい。

文献によっては、局所的に小さい圏のみを扱い、それを単に圏と呼ぶ場合もある[4][5]。
例

以下は圏の例である。Borceux (1994, Examples 1.2.5, Examples 1.2.6)参照。

EtaleK - 体 K 上のエタール代数を対象とし、K-代数としての準同型を射とする。

コボルディズム（英語版）: ボルディズム（英語版） の双対であるコボルディズムは圏と見なせる。

分類圏と記号対象の類射の類合成大きさ備考
具体圏集合の圏 Set全ての集合全ての写像写像の合成大きい