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数学において、多項式（たこうしき、英: poly-nomial）とは、数と不定元（変数とも呼ばれる）をもとにして、和と積によってつくられる式のことである。たとえば、3x3 − 7x2 + 2x − 23 は x を不定元とする多項式である。多項式は不定元を複数もつ場合もある。

本記事では多項式とその基本的な演算について述べ、関連して代数方程式、因数分解、多項式関数といった事項に触れる。関連事項についての詳細は個別記事に譲る。なお、一部の記述は1変数多項式（不定元を1個だけもつ多項式）に特有の内容である。

代数方程式とは多項式によって表される方程式であり、これは特に1変数の場合には因数分解と密接に関係している。また、代数方程式は数学における最古の問題のひとつで、その解法の追究は複素数や群といった概念の発見をもたらした。

多項式関数とは多項式によって与えられる関数のことである。多項式は数学や他の科学にさまざまな形で現れるが、その背景には、複雑な関数の特徴をとらえる際に多項式関数による近似が頻繁に用いられることがあるといえるだろう。
基本用語
1変数の多項式

不定元 x に関する（1変数の）多項式とは、 a n x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 1 x + a 0 {\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{1}x+a_{0}}

という形の式のことをいう。これを ∑ k = 0 n a k x k {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}}

とも書く。ただし、n は非負整数で、an, an − 1, …, a0 は数である。各々の akxk (k = 0, …, n) のことを項（より詳しくは k 次の項）とよび、ak をその項の係数とよぶ。特に、0次の項 a0 は定数項とよばれる。たとえば、多項式 3x3 − 7x2 + 2x − 23 の項とは 3x3, −7x2, 2x, −23 のことで、−7x2 の係数は −7 であり、またこの多項式の定数項は −23 である。

項を並べる順番は変更してよい。たとえば −7x2 − 23 + 2x + 3x3 は 3x3 − 7x2 + 2x − 23 と同じ多項式である。また、0 を係数とする項は省略してもよい。たとえば x2 + 0x − 1 と x2 − 1 は同じ多項式であり、0x2 + 4x − 2 と 4x − 2 も同じ多項式である。

−3x や 2x5 のような、唯一の項によって表される多項式のことを単項式とよぶ。また、数 a0 を多項式とみなすこともできる（定数多項式）。

定数多項式 0 を除くすべての多項式 f は、anxn + an − 1xn − 1 + … + a1x + a0（ただし an ≠ 0）という形に表すことができる。このように表したとき、n のことを多項式 f の次数とよび、また f は n 次多項式であるという。さらにこのとき、n 次の項 anxn は最高次の項ともよばれる。

定数多項式 a0 の次数は a0 = 0 の場合を除き 0 である。0 の次数は、定義しないか、あるいは −∞ と定めることが多い（零多項式）。

なお、多項式の係数としてはさまざまな範囲の数を用いることができる。どういった範囲の数を採用しているか明示するために、「実数を係数とする多項式」のような表現が用いられることがある。集合 K に属する数を係数とする多項式のことを「K 上の多項式」ともいう。係数の集合 K としては体または可換環を選ぶことが多いが、必ずしもそれらに限定されない。
多変数の多項式詳細は「多変数多項式」を参照

不定元 x, y に関する2変数の多項式とは、たとえば −2x3y2 + x4 − 17xy2 − 4 のように、有限個の axkyl（k, l は非負整数、a は数）の和として表される式のことをいう。同様にして、任意の正整数 m について m 変数の多項式の概念を考えることができる。2変数以上の多項式は、一般に多変数の多項式とよばれる。

K を数の集合とする。m 個の不定元 x1, x2, …, xm に関する K 上の多項式 f は、m 個の非負整数の組全体の集合を ?≥0m で表すとき、?≥0m のある有限部分集合 I を用いて ∑ ( k 1 , k 2 , … , k m ) ∈ I a k 1 k 2 ⋯ k m x 1 k 1 x 2 k 2 ⋯ x m k m {\displaystyle \sum _{(k_{1},k_{2},\dots ,k_{m})\in I}a_{k_{1}k_{2}\dotsb k_{m}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\dotsb x_{m}^{k_{m}}}

と表すことができる。ただし各 ak1k2…km は K の元である。同じことを、多重指数記法を用いて ∑ k ∈ I a k x k {\displaystyle \sum _{k\in I}a_{k}x^{k}}

と書くこともできる（ここで x = (x1, x2, …, xm) ）。各々の ak1k2…kmx1k1x2k2…xmkm （多重指数記法では akxk）を多項式 f の項とよぶ。なお、1変数多項式の場合と同様に、0 を係数とする項は省略して書いてもよい。

m 変数の多項式 f を上記のように表したとき、項 ak1k2…kmx1k1x2k2…xmkm の次数とは、通常 k1 + k2 + … + km のことである。また、0 を係数とする項をすべて省略した形で f を書き表したときに、現れる項の次数のうち最大のものを f の次数とよぶ[1]。たとえば、（不定元 x, y に関する）多項式 −2x3y2 + x4 − 17xy2 − 4 の次数は 5 である。
注意
多項式と整式

「多項式」と「整式」は、数学の文献では同じ意味で使われることが多い[2]。しかし一般にはそうでない流儀もある。たとえば、「整式」を本記事でいう多項式の意味で用い、「多項式」は単項式でない整式の意味で用いることがある[3]。

また、現在の日本の中等教育課程では、本記事でいう多項式を「整式」とよび、「多項式」の語は副次的に用いる習慣がみられる。たとえば、中学校学習指導要領では「多項式」の語は「単項式」との対比においてのみ使われている[4]。高等学校学習指導要領には「多項式」は現れず、もっぱら「整式」の語が使われている[5]。
不定元と変数

多項式については、「不定元」と「変数」という二つの言葉は基本的に同じ意味で使われる。

不定元（変数）x に関する多項式 f があるとき、この f を多項式とみなす限りにおいては、x は単なる形式的な記号にすぎず、値を持ったりはしない。その意味で、x を「変数」とよぶのは不適切だと考えることもできる。一方で、f を多項式関数（後述）とみなした場合は x は変数となる。多項式と多項式関数は異なる概念ではあるけれども、両者には密接な関係があることから、多項式についても「不定元」でなく「変数」という言葉を用いる人も少なくない[要出典]。不定元も参照せよ。
記号 f と f(x)

多項式を記号で表す際の記法には、たとえば f と f(x) のように、不定元を表す文字を添えるものと添えないものがある。これらは両方とも広く用いられる。
多項式の演算
加法・乗法・定数倍

同じ不定元を持つ二つの多項式 f, g について、それらの和 f + g および積 fg とは、それぞれ、形式的な和や積を、加法・乗法の交換法則および分配法則が成り立つものとして整理して得られる多項式のことである。1変数の場合について式で表すと次のようになる。不定元を x として、 f = ∑ k = 0 m a k x k {\textstyle f=\sum _{k=0}^{m}a_{k}x^{k}} および g = ∑ k = 0 n b k x k {\textstyle g=\sum _{k=0}^{n}b_{k}x^{k}} とおく。さらに、am + 1 = am + 2 = … = 0, bn + 1 = bn + 2 = … = 0 と定めておく。そのとき、和は f + g = ∑ k = 0 max ( m , n ) ( a k + b k ) x k {\displaystyle f+g=\sum _{k=0}^{\max(m,n)}(a_{k}+b_{k})x^{k}}