数学において多項式の展開（たこうしきのてんかい、英: polynomial expansion）とは、複数の多項式の積を一つの多項式で表すことをいう。これは因数分解と逆の操作である。式の見た目として括弧がなくなるため、展開することを俗に「括弧を外す」ということもある。因数分解には統一的な方法論が無いのに対し、展開は分配法則を用いて機械的に行うことができる。この法則は、級数に対するものに自然に拡張される。 分配法則a(b + c) = ab + ac を用いることで、多項式の積を一つの多項式で表すことが可能。まず、帰納法により、第二因子が n 個の項の和である場合の分配法則を得る。a(b1 + ? + bn) = ab1 + ? + abn 第一因子も複数の項の和である場合、すなわち(a1 + ? + am)(b1 + ? + bn) については、次のように計算される。 この結果を記号 ∑ である。言葉で表現するならば、 第一因子の項と第二因子の項、全ての組み合わせについて積をとり、その和が展開の結果である ということである。第一因子が m 個の項の和、第二因子が n 個の項の和であれば、第一因子の項と第二因子の項の組み合わせは mn 通りであるから、展開した結果は mn 個の項の和になる。 3つ以上の多項式の積についても同様のことがいえる。すなわち、 それぞれの因子からひとつずつ項を選ぶ、その全ての組み合わせについて積をとり、その和が展開の結果である ことがしたがう。k 個の多項式の積であって、i 番目の多項式が ni 個の項の和であれば、展開した結果は n1 ? nk 個の項の和になる。 (a + b + c)(x + y) を展開すると、ax + ay + bx + by + cx + cy となる。展開の様子は次の表のように表せる。 × a b c x a x b x c x y a y b y c y {\displaystyle {\begin{array}{c|cc}\times &a&b&c\\\hline x&ax&bx&cx\\y&ay&by&cy\end{array}}} 展開したのち、さらに簡単にできる場合もある。例えば (a + b)(a ? b) を展開する場合の表は × a b a a 2 a b − b − a b − b 2 {\displaystyle {\begin{array}{c|cc}\times &a&b\\\hline a&a^{2}&ab\\-b&-ab&-b^{2}\end{array}}} であるが、ab と -ab が打ち消しあうため、a2 ? b2 となる。通常はこのような計算も含めて「多項式の展開」と呼ぶ。数学教育においては、こういう場合の展開式、例えば次のような式を公式として教授することが多い。 右辺を左辺に変形することは因数分解であるから、これらは展開の公式であるとともに因数分解の公式ともみなせる。 多項式は有限個の項の和であるが、無限個の項の和である（形式的）冪級数に対する積が定義され、多項式の展開の自然な拡張とみなせる。以下、簡単のために1変数の冪級数 ∑ i = 0 ∞ a i x i = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ⋯ {\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dotsb } についてのみ考える。ふたつの冪級数の積は ( ∑ i = 0 ∞ a i x i ) ( ∑ j = 0 ∞ b j x j ) = ∑ k = 0 ∞ ( ∑ i + j = k a i b j ) x k {\displaystyle {\Bigl (}\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}{\Bigr )}{\Bigl (}\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}x^{j}{\Bigr )}=\sum _{k=0}^{\infty }{\Bigl (}\sum _{i+j=k}a_{i}b_{j}{\Bigr )}x^{k}} と定義される。冪級数をその収束域に対する関数とみなした場合、これは関数の積に対応する。 指数関数のテイラー展開 e x = 1 + x + x 2 2 + x 3 6 + ⋯ {\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+\dotsb } の右辺の平方を上記の法則で「展開」すると、 ( 1 + x + x 2 2 + x 3 6 + ⋯ ) 2 = 1 + 2 x + 2 x 2 + 4 3 x 3 + ⋯ {\displaystyle {\biggl (}1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+\dotsb {\biggr )}^{\!2}=1+2x+2x^{2}+{\frac {4}{3}}x^{3}+\dotsb } となるが、この右辺は (ex)2 すなわち e2x のテイラー展開に等しい。これらの冪級数は、x にいかなる複素数を代入しても収束するが、収束域が限られたものも存在する。例えば、 ( 1 − x ) ( 1 + x + x 2 + x 3 + ⋯ ) = 1 {\displaystyle (1-x)(1+x+x^{2}+x^{3}+\dotsb )=1} であるが、1 + x + x2 + x3 + ? は |x| < 1 の範囲でのみ収束する。表現を変えるならば、複素関数 1 + x + x2 + x3 + ? の解析接続は 1/(1 ? x) であり、これは x = 1 のみを1位の極に持ち、その他の点で正則である。
概要
第一因子を A とおくと、A(b1 + ? + bn) となる
分配法則により、これは Ab1 + ? + Abn に等しい
この式の第 i 項は (a1 + ? + am)bi であり、再び分配法則を用いると、これは a1bi + ? + ambi に等しい
よって、全体は (a1b1 + ? + amb1) + ? + (a1bn + ? + ambn) に等しい
を用いて書くならば ( ∑ i = 1 m a i ) ( ∑ j = 1 n b j ) = ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n a i b j {\displaystyle {\Bigl (}\sum _{i=1}^{m}a_{i}{\Bigr )}{\Bigl (}\sum _{j=1}^{n}b_{j}{\Bigr )}=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{i}b_{j}}
具体例
(a + b)(a ? b) = a2 ? b2
(a + b)(a2 ? ab + b2) = a3 + b3
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
冪級数への拡張詳細は「コーシー積」を参照
例
関連項目
展開
二項定理
因数分解
外部リンク
Definition:Multiplication of Polynomials at ProofWiki
Coefficients of Polynomial Product
表
話
多項式
零多項式
定数多項式
斉次多項式
函数
次数不確定 (or −∞)（零函数）
零次（非零定数函数）
一次
二次
三次
四次
五次
方程式
一次
二次
三次
四次
五次
六次
七次
八次
項数
零項
定数項
単項
二項
三項
無限変数（フランス語版）
座標に依らない記述（英語版）
係数条件
容量 1（原始的）
主係数 1（モニック）
アルゴリズム
因数分解
最大公約式（英語版）
除法（英語版）
ホーナー法
終結式
判別式
グレブナー基底
関連項目
代数方程式
多項式の根
重根 (多項式)
根と係数の関係
剰余の定理
因数定理
多項式の展開
多項定理
二項定理
整式
解の公式
二次方程式の解の公式
陰計算
カテゴリ
