数学における多項定理（たこうていり、英: multinomial theorem）とは、多項和 (multinomial) の冪を展開した式を表すものである。二項定理において項数を一般化したものである。
定理の主張

多項公式 (multinomial formula) とは、正整数 m, 非負整数 n に対して、m項和の任意の n-冪を展開すると ( x 1 + x 2 + ⋯ + x m ) n = ∑ k 1 + k 2 + ⋯ + k m = n ( n k 1 , k 2 , … , k m ) x 1 k 1 x 2 k 2 ⋯ x m k m {\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\textstyle \sum \limits _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{\dbinom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}{x_{1}}^{k_{1}}{x_{2}}^{k_{2}}\dotsb {x_{m}}^{k_{m}}}

となることを示すものである。ここで係数 (n
k1, …, km) は多項係数と呼ばれ、 ( n k 1 , k 2 , … , k m ) = n ! k 1 ! k 2 ! ⋯ k m ! {\displaystyle {\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}}}

となる。また、k1, k2, …, km は非負整数であり、総和は k1 + k2 + … + km = n となるもの全てに亘って取る。従って、展開式の各項の次数は n となる。また、x0 はここでは、二項定理の場合と同様に、（x が零のときも含めて恒等的に）1 と定義している。

m = 2 のとき、主張は二項定理である。

多重添字記法を用いると、定理の主張は ( x 1 + ⋯ + x m ) n = ∑ 。 α 。 = n ( n α ) x α {\displaystyle (x_{1}+\cdots +x_{m})^{n}=\textstyle \sum \limits _{|\alpha |=n}{\dbinom {n}{\alpha }}x^{\alpha }}

略記できる。ここに、α = (α1, α2, …, αm), x = (x1, x2, …, xm) であって、xα = xα1
1 xα2
2⋅ ? ⋅xαm
m および |α| = α1 + α2 + … + αm, α! = α1! α2! ⋅ … ⋅ αm! に対して (n
α) = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}n!/α! = |α|/α! である。

例えば、 ( a + b + c ) 3 {\displaystyle (a+b+c)^{3}} を展開すると、次のようになる： ( a + b + c ) 3 = ( a + b + c ) ( a + b + c ) ( a + b + c ) = a 3 + 3 a 2 + 3 a b 2 + 6 a b c + 3 a c 2 + b 3 + 3 b c 2 + c 3 {\displaystyle {\begin{aligned}(a+b+c)^{3}&=(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)\\&=a^{3}+3a^{2}+3ab^{2}+6abc+3ac^{2}+b^{3}+3bc^{2}+c^{3}\end{aligned}}}
証明
組合せ論的証明

二項定理の組合せ論的証明と同様に証明できる。

n個の (x1 + x1 + … + xm) の積を一度に展開し切ることを考える。 ( x 1 + x 2 + ⋯ + x m ) n = ( x 1 + x 2 + ⋯ + x m ) ⋯ ( x 1 + x 2 + ⋯ + x m ) ⏟ n  factors {\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\underbrace {(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})\cdots (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})} _{n{\text{ factors}}}}

一度に展開すると、それぞれの (x1 + x1 + … + xm) から x1, …, xm の1つだけを取った文字 n個の総乗の総和となる。

これらの積のうち、並び替えて x1k1…xmkm (k1 + … + km = n) になるものは、k1個の x1、…、km個の xm を並べる場合の数だけあるから、多項係数 (n
k1, …, km)、すなわち x1k1…xmkm の係数は n!/k1!…km! となる。
指数について帰納法

二項定理と同様に、指数 n についての数学的帰納法で証明できる。

n =1 のとき、 ( x 1 + x 2 + ⋯ + x m ) 1 = 1 x 1 + 1 x 2 + ⋯ + 1 x m , {\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{1}=1x_{1}+1x_{2}+\cdots +1x_{m},} 1 ! 1 ! 0 ! ⋯ 0 ! = 1 {\displaystyle {\frac {1!}{1!\,0!\,\cdots 0!}}=1}

より成り立つ。

ある n について成り立つと仮定する。 ( x 1 + ⋯ + x m ) n = ∑ k 1 + ⋯ + k m = n ( n k 1 , ⋯ , k m ) x 1 k 1 ⋯ x m k m {\displaystyle (x_{1}+\cdots +x_{m})^{n}=\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\cdots +k_{m}=n}{\dbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}{x_{1}}^{k_{1}}\cdots {x_{m}}^{k_{m}}}

より、 = ( x 1 + ⋯ + x m ) n + 1 {\displaystyle {\hphantom {=}}\;(x_{1}+\cdots +x_{m})^{n+1}} = ( x 1 + ⋯ + x m ) ( x 1 + ⋯ + x m ) n {\displaystyle =(x_{1}+\cdots +x_{m})(x_{1}+\cdots +x_{m})^{n}} = ( x 1 + ⋯ + x m ) ∑ k 1 + ⋯ + k m = n ( n k 1 , ⋯ , k m ) x 1 k 1 ⋯ x m k m {\displaystyle =(x_{1}+\cdots +x_{m})\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\cdots +k_{m}=n}{\dbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}{x_{1}}^{k_{1}}\cdots {x_{m}}^{k_{m}}} = x 1 ∑ k 1 + ⋯ + k m = n ( n k 1 , ⋯ , k m ) x 1 k 1 ⋯ x m k m + x m ∑ k 1 + ⋯ + k m = n ( n k 1 , ⋯ , k m ) x 1 k 1 ⋯ x m k m {\displaystyle =x_{1}\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\cdots +k_{m}=n}{\dbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}{x_{1}}^{k_{1}}\cdots {x_{m}}^{k_{m}}+x_{m}\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\cdots +k_{m}=n}{\dbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}{x_{1}}^{k_{1}}\cdots {x_{m}}^{k_{m}}} = ∑ k 1 + ⋯ + k m = n ( n k 1 , ⋯ , k m ) x 1 k 1 + 1 x 2 k 2 ⋯ x m k m + ∑ k 1 + ⋯ + k m = n ( n k 1 , ⋯ , k m ) x 1 k 1 ⋯ x m − 1 k m − 1 x m k m + 1 {\displaystyle =\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\cdots +k_{m}=n}{\dbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}{x_{1}}^{k_{1}+1}{x_{2}}^{k_{2}}\cdots {x_{m}}^{k_{m}}+\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\cdots +k_{m}=n}{\dbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}{x_{1}}^{k_{1}}\cdots {x_{m-1}}^{k_{m-1}}{x_{m}}^{k_{m}+1}} = ∑ k 1 + ⋯ + k m = n + 1 k 1 ≥ 1 ( n k 1 , ⋯ , k m ) x 1 k 1 ⋯ x m k m + ∑ k 1 + ⋯ + k m = n k m ≥ 1 ( n k 1 , ⋯ , k m ) x 1 k 1 ⋯ x m k m {\displaystyle =\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\cdots +k_{m}=n+1 \atop k_{1}\geq 1}{\dbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}{x_{1}}^{k_{1}}\cdots {x_{m}}^{k_{m}}+\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\cdots +k_{m}=n \atop k_{m}\geq 1}{\dbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}{x_{1}}^{k_{1}}\cdots {x_{m}}^{k_{m}}} = ∑ k 1 + ⋯ + k m = n + 1 ( n k 1 − 1 , k 2 , ⋯ , k m ) x 1 k 1 ⋯ x m k m + ∑ k 1 + ⋯ + k m = n + 1 ( n k 1 , ⋯ , k m − 1 , k m − 1 ) x 1 k 1 ⋯ x m k m {\displaystyle =\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\cdots +k_{m}=n+1}{\dbinom {n}{k_{1}-1,k_{2},\cdots ,k_{m}}}{x_{1}}^{k_{1}}\cdots {x_{m}}^{k_{m}}+\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\cdots +k_{m}=n+1}{\dbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m-1},k_{m}-1}}{x_{1}}^{k_{1}}\cdots {x_{m}}^{k_{m}}} ( ∵ ( n ⋯ , − 1 , ⋯ ) = 0 ) {\displaystyle \left(\because {\binom {n}{\cdots ,-1,\cdots }}=0\right)} = ∑ k 1 + ⋯ + k m = n + 1 [ ( n k 1 − 1 , k 2 , ⋯ , k m ) + ⋯ + ( n k 1 , ⋯ , k m − 1 , k m − 1 ) ] x 1 k 1 ⋯ x m k m {\displaystyle =\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\cdots +k_{m}=n+1}\left[{\dbinom {n}{k_{1}-1,k_{2},\cdots ,k_{m}}}+\cdots +{\dbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m-1},k_{m}-1}}\right]{x_{1}}^{k_{1}}\cdots {x_{m}}^{k_{m}}} = ∑ k 1 + ⋯ + k m = n + 1 ( n + 1 k 1 , ⋯ , k m ) x 1 k 1 ⋯ x m k m {\displaystyle =\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\cdots +k_{m}=n+1}{\dbinom {n+1}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}{x_{1}}^{k_{1}}\cdots {x_{m}}^{k_{m}}}