多項分布確率質量関数

累積分布関数

母数試行回数 n > 0 {\displaystyle n>0} （整数）
各試行の確率 p 1 , ⋯ , p k {\displaystyle p_{1},\cdots ,p_{k}} ( Σ p i = 1 {\displaystyle \Sigma p_{i}=1} )
台 x i ∈ { 0 , ⋯ , n } , i ∈ { 1 , ⋯ , k } {\displaystyle x_{i}\in \{0,\cdots ,n\},\,\,\,\,i\in \{1,\cdots ,k\}}
Σ x i = n {\displaystyle \Sigma x_{i}=n}
確率質量関数 n ! x 1 ! ⋯ x k ! p 1 x 1 ⋯ p k x k {\displaystyle {\frac {n!}{x_{1}!\cdots x_{k}!}}{p_{1}}^{x_{1}}\cdots {p_{k}}^{x_{k}}}
期待値 E [ X i ] = n p i {\displaystyle E[X_{i}]=np_{i}}
分散 Var ⁡ [ X i ] = n p i ( 1 − p i ) {\displaystyle \operatorname {Var} [X_{i}]=np_{i}(1-p_{i})}
Cov ⁡ [ X i , X j ] = − n p i p j     ( i ≠ j ) {\displaystyle \operatorname {Cov} [X_{i},X_{j}]=-np_{i}p_{j}~~(i\neq j)}
モーメント母関数 ( ∑ i = 1 k p i e t i ) n {\displaystyle {\biggl (}\sum _{i=1}^{k}p_{i}e^{t_{i}}{\biggr )}^{n}}
特性関数 ( ∑ j = 1 k p j e i t j ) n {\displaystyle \left(\sum _{j=1}^{k}p_{j}e^{it_{j}}\right)^{n}} where i 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=-1}
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多項分布（たこうぶんぷ、英: multinomial distribution）は、確率論において二項分布を一般化した確率分布である。

二項分布は、n 個の独立なベルヌーイ試行の「成功」の数の確率分布であり、各試行の「成功」確率は同じである。多項分布では、各試行の結果は固定の有限個（k 個）の値をとり、それぞれの値をとる確率は p1, …, pk（すなわち、i = 1, …, k について pi ? 0 であり、 ∑ i = 1 k p i = 1 {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{k}p_{i}=1} が成り立つ）であり、n 回の独立した試行が行われる。確率変数 Xi は n 回の試行で i という数が出る回数を示す。X = (X1, …, Xk) は n と p をパラメータとする多項分布に従う。
確率質量関数

多項分布の確率質量関数は次の通りである。 f ( x 1 , ⋯ , x k ; n , p 1 , ⋯ , p k ) = { n ! x 1 ! ⋯ x k ! p 1 x 1 ⋯ p k x k when  ∑ i = 1 k x i = n 0 otherwise. {\displaystyle f(x_{1},\cdots ,x_{k};n,p_{1},\cdots ,p_{k})={\begin{cases}{\dfrac {n!}{x_{1}!\cdots x_{k}!}}p_{1}^{x_{1}}\cdots p_{k}^{x_{k}}&{\text{when }}\sum \limits _{i=1}^{k}x_{i}=n\\[1ex]0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}

ここで、x1, …, xk は負でない整数である。
属性

期待値は次の通り。