数学における多項係数（たこうけいすう、英: Multinomial coefficient）は二項係数を一般化したものである。
定義

非負整数列 k1, k2, …, kr および n = k1 + k2 + … + kr に対して、多項係数が定義される。

多項係数を直接表示すると ( n k 1 , k 2 , … , k r ) := n ! k 1 ! ⋯ k r ! {\displaystyle {\binom {n}{k_{1},k_{2},\dotsc ,k_{r}}}:={\frac {n!}{k_{1}!\dotsm k_{r}!}}}

となる。ここに x! は x の階乗を表す。

多項係数は帰納的に表すこともできる： ( n k 1 , ⋯ , k r ) := ( n − 1 k 1 − 1 , k 2 , ⋯ , k r ) + ⋯ + ( n − 1 k 1 , ⋯ , k r − 1 , k r − 1 ) {\displaystyle {\binom {n}{k_{1},\cdots ,k_{r}}}:={\binom {n-1}{k_{1}-1,k_{2},\cdots ,k_{r}}}+\cdots +{\binom {n-1}{k_{1},\cdots ,k_{r-1},k_{r}-1}}}

多項係数は整数となる。したがって、多項係数を規則的に並べていくと r-単体となる（パスカルの単体。r = 3 のときについてはパスカルの三角錐（英語版）を参照）。

多項係数は二項係数を用いて ( k 1 + k 2 + ⋯ + k r k r ) ( k 1 + k 2 + ⋯ + k r − 1 k r − 1 ) ⋯ ( k 1 k 1 ) = ∏ i = 1 r ( ∑ s = 1 i k s k i ) {\displaystyle {\binom {k_{1}+k_{2}+\dotsb +k_{r}}{k_{r}}}{\binom {k_{1}+k_{2}+\dotsb +k_{r-1}}{k_{r-1}}}\cdots {\binom {k_{1}}{k_{1}}}=\textstyle \prod \limits _{i=1}^{r}{\dbinom {\sum \limits _{s=1}^{i}k_{s}}{k_{i}}}}

と表すこともできる。
応用と解釈
多項定理詳細は「多項定理」を参照

二項定理の拡張である、多項定理と呼ばれる等式 ( x 1 + ⋯ + x r ) n = ∑ k 1 + ⋯ + k r = n ( n k 1 , … , k r ) ⋅ x 1 k 1 ⋯ x r k r {\displaystyle (x_{1}+\dotsb +x_{r})^{n}=\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\dotsb +k_{r}=n}{\dbinom {n}{k_{1},\dotsc ,k_{r}}}\cdot {x_{1}}^{k_{1}}\dotsm {x_{r}}^{k_{r}}}