数学において多重指数記法（たじゅうしすうきほう、英: multi-index notation; 多重添字記法）は、添字記法を順序組を用いて多重化（多変数に一般化）する表記法であり、多変数微分積分学、偏微分方程式論、シュヴァルツ超関数論などの分野において、主に整数冪の冪指数などの添字を多重化した多重指数、多重添字を用いて様々な式の表記を簡潔にする。
主な定義

非負整数からなる n-次元（あるいは n-変数）の多重指数あるいは多重添字αとは非負整数全体の成す集合 N0 の n-重デカルト積 N0n の元を言う。すなわち、α1, α2, ..., αn∈N0 とすると α = ( α 1 , α 2 , … , α n ) {\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})}

である[1]。場合によっては整数からなる多重指数や実数からなる多重指数も必要に応じて用いられる。

多重指数を利用して数ベクトルや勾配作用素の多重指数による冪を次のように定義する。
多重冪指数 [1]
x α := x 1 α 1 x 2 α 2 ⋯ x n α n . {\displaystyle x^{\alpha }:=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\dotsb x_{n}^{\alpha _{n}}.} ただし x = ( x 1 , x 2 , … , x n ) ∈ R n . {\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}.}
高階偏微分の階数[1]
∂ α := ∂ 1 α 1 ∂ 2 α 2 ⋯ ∂ n α n ( ∂ i α i = ∂ α i / ∂ x i α i ) . {\displaystyle \partial ^{\alpha }:=\partial _{1}^{\alpha _{1}}\partial _{2}^{\alpha _{2}}\dotsb \partial _{n}^{\alpha _{n}}\quad (\partial _{i}^{\alpha _{i}}=\partial ^{\alpha _{i}}/\partial x_{i}^{\alpha _{i}}).} ただし、 ∂ = ( ∂ 1 , ∂ 2 , … , ∂ n ) = {\displaystyle \partial =(\partial _{1},\partial _{2},\ldots ,\partial _{n})=} ∇.
多重指数の演算

以下、α, β は適当な数のクラスに成分を持つ多重指数とし、（通常の意味で書かれた右辺の式が定義される限りにおいて）右辺によって左辺を定義する。
半順序
α ≤ β : ⟺ α i ≤ β i ∀ i ∈ { 1 , … , n } {\displaystyle \alpha \leq \beta :\iff \alpha _{i}\leq \beta _{i}\quad \forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}} [1]
成分ごとの加法（と減法）
α ± β := ( α 1 ± β 1 , α 2 ± β 2 , … , α n ± β n ) {\displaystyle \alpha \pm \beta :=(\alpha _{1}\pm \beta _{1},\,\alpha _{2}\pm \beta _{2},\ldots ,\,\alpha _{n}\pm \beta _{n})} [1]ただし、減法は β ≤ α {\displaystyle \beta \leq \alpha } の時に限り定義される[1]。
長さ[1]、大きさ、絶対値、全次数
。 α 。 := α 1 + α 2 + ⋯ + α n {\displaystyle |\alpha |:=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}} [1]
階乗
α ! := α 1 ! ⋅ α 2 ! ⋯ α n ! {\displaystyle \alpha !:=\alpha _{1}!\cdot \alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!} [1]

またこれらを複合する形で
二項係数
( α β ) = α ! β ! ( α − β ) ! := ( α 1 β 1 ) ( α 2 β 2 ) ⋯ ( α n β n ) {\displaystyle {\binom {\alpha }{\beta }}={\frac {\alpha !}{\beta !(\alpha -\beta )!}}:={\binom {\alpha _{1}}{\beta _{1}}}{\binom {\alpha _{2}}{\beta _{2}}}\cdots {\binom {\alpha _{n}}{\beta _{n}}}} [1]