この項目では、4次元の多胞体 (polychoron)について説明しています。

一般次元の多胞体 (polytope)については「ポリトープ」をご覧ください。

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六種の凸正多胞体のグラフ{3,3,3}{3,3,4}{4,3,3}

五胞体
Pentatope
4-単体
十六胞体
Orthoplex
4-正軸体
八胞体
Tesseract
4-立方体
{3,4,3}{5,3,3}{3,3,5}

Octaplex
24胞体
Dodecaplex
120胞体
Tetraplex
600胞体

初等幾何学における四次元超多面体(4-polytope) または多胞体（たほうたい、英: polychoron, polycell, polyhedroid）は四次元の超多面体である[1][2]。四次元超多面体は連結かつ閉な図形で、より低次の超多面体図形（頂点、辺、多角形面、多面体胞（フランス語版））から組み立てられる。各面はちょうど二つの胞に共有される。

多くの胞からなる図形という意味で多胞体とも呼ばれるが、「多胞体」を任意の超多面体を表す polytope の訳語としても用いることがある[注釈 1]ため注意が必要である。以下、誤解の虞が無いならば、断りなく四次元超多面体の意味で多胞体と呼ぶことにする。

多胞体は二次元の多角形および三次元の多面体の四次元における対応物である。

位相的には、多胞体は一様ハニカム（英語版）に近い関係を持つ。例えば、三次元空間を充填する立方体ハニカム（英語版）との関係は、三次元立方体が無限正方形平面充填に関係するのと同様である。凸多胞体を「切ったり開いたり」して三次元展開図を作ることができる。
定義

多胞体は四次元の閉じた図形で、頂点、辺、面、胞（wikidata））から組み立てられる。胞は面の三次元版で、それ自身は一つの多面体になっている。多面体の辺がちょうど二つの面と接続されていたことと対応することとして、多胞体の各面はちょど二つの胞に接続する。任意の超多面体がそうであるように、多胞体の要素全体の成す集合を適当に分割して、それ自身多胞体を成す二つ以上の部分集合にすることはできない。その意味で多胞体は素であり、合成的なものではない。

もっともよく知られた多胞体は、テッセラクトとも呼ばれる正八胞体（立方体の四次元版）である。
図示法

二十四胞体の図示例断面図展開図（英語版）

投影図
シュレーゲル図（英語版）二次元直交射影三次元直交射影

多胞体は四次元的な広がりを持つのだから三次元空間内では見ることができない。しかし、それを三次元空間内の情報から視覚的に推察するための図示方法がいくつか存在する。
直交射影
多胞体の様々な対称方向を示すために直交射影は有効に用いられる。それにより頂点–辺グラフは二次元に表示でき、また目に見える射影被覆として立体面が三次元に示される。
投影図
三次元図形を平面の紙に投影するように、四次元図形を三次元に（あるいはさらに二次元に）投影することができる。よく用いられる投影図は、三次元球面上の点から三次元空間への立体射影を用いるシュレーゲル図（英語版）で、三次元空間内に描かれた辺、面、胞が真っ直ぐに接続される。
断面図
多面体を曲面による切断の断面によって調べるのと同じく、多胞体を三次元「超曲面」で切った断面から明らかにすることができる。つまり、そのような断面の列を組み立てて全体の形を理解するのである。余剰の空間次元を時間的変化で代用して、これら横断面の滑らかなアニメーションを作ることもできる。
展開図
多面体の展開図が多面体の全ての多角形面が辺で繋がれた状態で同じ平面上に描かれるように、多胞体の全ての多面体胞を同じ一つの三次元空間上に面で繋げて描くことで多胞体の展開図が得られる。
位相的特徴付けテッセラクトのシュレーゲル図

与えられた多胞体の位相はそのベッチ数およびねじれ係数（英語版）によって決定される[4]。

多面体を特徴付ける[5]ために用いられるオイラー標数の値は、そのままでは高次元に対して意味を持たせることはできない（任意の多胞体に対して、その基礎にある位相が何であれ、その値は零である）。このようにオイラー標数が高次元の異なる位相を区別するのに不十分であったことが、より洗練されたベッチ数の発見に繋がった[4]。

同様に、多面体の向き付け可能性の概念は、トロイダル多胞体のひねり面を特徴付けるのには不十分であったから、ねじれ係数が用いられるようになった[4]。
多胞体の種類
正多胞体

四次元における正多胞体とは、3次元空間でいう正多面体に相当する多胞体のことである。定義も正多面体と似ており概要は、

全ての胞が一種類の正多面体でできている。

一つの頂点に集まる正多面体の数が同じである（頂点は合同である）。

である。正多面体をあらわす記号であるシュレーフリ記号を四次元では、構成面の形を p、構成胞の1つの頂点に集まる面の数を q、1つの辺に集まる胞の数を rとして{p, q, r} とあらわす。

4次元の正多胞体は、6種類存在する。

名前と三次元投影図構成胞構成面面辺頂点シュレーフリ記号対応する正多面体
正五胞体
正四面体正三角形10105{3,3,3}正四面体
正八胞体
（超立方体）
正六面体正方形243216{4,3,3}正六面体
正十六胞体
正四面体正三角形32248{3,3,4}正八面体
正二十四胞体
正八面体正三角形969624{3,4,3}（なし）
正百二十胞体
正十二面体正五角形7201200600{5,3,3}正十二面体
正六百胞体
正四面体正三角形1200720120{3,3,5}正二十面体

双対関係は、

正八胞体⇔正十六胞体

正百二十胞体⇔正六百胞体

で、正五胞体と正二十四胞体はそれぞれ自己双対である。
半正多胞体

四次元における半正多胞体とは、3次元でいう半正多面体に相当する多胞体のことである。その定義は

全ての胞が数種類の正多面体、または半正多面体でできている。

全ての頂点が合同である。

4次元の場合、半正多胞体は全部で58種類ある（正多面体、半正多面体を底胞とする超角柱を含む。ただし角柱を底胞とする超角柱などの無限系列は除く）。その中には、正多胞体の頂点や辺、面を削ったものなどがある。四次元における例外的な立体が存在として捩れ二十四胞体と大反角柱の2つがある。