多変量正規分布確率密度関数

μ = [ 0 0 ] , Σ = [ 1 3 / 5 3 / 5 2 ] {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=\left[{\begin{smallmatrix}0\\0\end{smallmatrix}}\right],{\boldsymbol {\Sigma }}=\left[{\begin{smallmatrix}1&3/5\\3/5&2\end{smallmatrix}}\right]} の多変量正規分布に従う標本点を多数とったもの。3σ を表す楕円、2つの周辺分布、およびそれらの1次元ヒストグラムも同時に示した。
累積分布関数

母数μ ∈ Rk ? 位置
Σ ∈ Rk × k ? 分散共分散（半正定値行列）
台x ∈ μ + span(Σ) ⊆ Rk
確率密度関数 ( 2 π ) − k 2 det ( Σ ) − 1 2 e − 1 2 ( x − μ ) T Σ − 1 ( x − μ ) , {\displaystyle (2\pi )^{-{\frac {k}{2}}}\det({\boldsymbol {\Sigma }})^{-{\frac {1}{2}}}\,e^{-{\frac {1}{2}}(\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})^{\!{\mathsf {T}}}{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}(\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})},}
存在するのは Σ が正定値行列であるときに限る。
期待値μ
最頻値μ
分散Σ
エントロピー 1 2 ln ⁡ det ( 2 π e Σ ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}\ln \det \left(2\pi \mathrm {e} {\boldsymbol {\Sigma }}\right)}
モーメント母関数 exp ( μ T t + 1 2 t T Σ t ) {\displaystyle \exp \!{\Big (}{\boldsymbol {\mu }}^{\!{\mathsf {T}}}\mathbf {t} +{\tfrac {1}{2}}\mathbf {t} ^{\!{\mathsf {T}}}{\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {t} {\Big )}}
特性関数 exp ( i μ T t − 1 2 t T Σ t ) {\displaystyle \exp \!{\Big (}i{\boldsymbol {\mu }}^{\!{\mathsf {T}}}\mathbf {t} -{\tfrac {1}{2}}\mathbf {t} ^{\!{\mathsf {T}}}{\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {t} {\Big )}}
テンプレートを表示

確率論と統計学において、多変量正規分布（たへんりょうせいきぶんぷ、英: multivariate normal distribution）または多次元正規分布、あるいは結合正規分布（英: joint normal distribution）、もしくはこれらの語で「正規分布」を「ガウス分布」に換えたもの、は1次元の正規分布を高次元へと一般化した確率分布である。ベクトル値確率変数（英語版）が k 変量正規分布に従うとは、それらの k 個の成分（実数値確率変数）の任意の（実係数）線型結合が1変量正規分布に従うことを言う。この分布の重要性は主として、多変数の場合の中心極限定理の分布収束先として現れることによる。多変量正規分布はしばしば、少なくとも近似的に、互いに相関を持ち、平均ベクトルの周辺に値が集中するような確率変数の組を記述するのに用いられる。
記法とパラメータ

k 次元ベクトル値確率変数 X = ( X 1 , … , X k ) {\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{k})} が多変量正規分布に従っていることを、次のように記す： X   ∼   N ( μ , Σ ) {\displaystyle \mathbf {X} \ \sim \ {\mathcal {N}}({\boldsymbol {\mu }},\,{\boldsymbol {\Sigma }})}

もしくは X が k 次元であることを明示して X   ∼   N k ( μ , Σ ) {\displaystyle \mathbf {X} \ \sim \ {\mathcal {N}}_{k}({\boldsymbol {\mu }},\,{\boldsymbol {\Sigma }})}

と書くこともある。

ここで k 次元平均ベクトルは μ = E ⁡ [ X ] = ( E ⁡ [ X 1 ] , E ⁡ [ X 2 ] , … , E ⁡ [ X k ] ) , {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=\operatorname {E} [\mathbf {X} ]=(\operatorname {E} [X_{1}],\operatorname {E} [X_{2}],\ldots ,\operatorname {E} [X_{k}]),}

であり、 k × k {\displaystyle k\times k} 分散共分散行列は Σ i , j := E ⁡ [ ( X i − μ i ) ( X j − μ j ) ] = Cov ⁡ [ X i , X j ] {\displaystyle \Sigma _{i,j}:=\operatorname {E} [(X_{i}-\mu _{i})(X_{j}-\mu _{j})]=\operatorname {Cov} [X_{i},X_{j}]}

（ただし 1 ≤ i , j ≤ k {\displaystyle 1\leq i,j\leq k} ）である。分散共分散行列の逆行列は精度行列（precision matrix）と呼ばれ、 Q = Σ − 1 {\displaystyle {\boldsymbol {Q}}={\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}} と記す。
定義
標準正規確率変数ベクトル

実数値確率変数から成るベクトル X = ( X 1 , … , X k ) T {\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{k})^{\mathrm {T} }} が標準正規確率変数ベクトル（standard normal random vector）であるとは、それらの成分 X n {\displaystyle X_{n}} が独立であって、いずれも平均 0、分散 1 の正規分布に従っている（全ての n {\displaystyle n} に対し、 X n ∼   N ( 0 , 1 ) {\displaystyle X_{n}\sim \ {\mathcal {N}}(0,1)} ）ことを言う[1]:p. 454。
中心化正規確率変数ベクトル

実数値確率変数から成るベクトル X = ( X 1 , … , X k ) T {\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{k})^{\mathrm {T} }} が中心化正規確率変数ベクトル（centered normal random vector）であるとは、 k × ℓ {\displaystyle k\times \ell } 実成分定行列 A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} が存在して、 A Z {\displaystyle {\boldsymbol {A}}\mathbf {Z} } が X {\displaystyle \mathbf {X} } と同一の確率分布に従うことを言う。ここで Z {\displaystyle \mathbf {Z} } は ℓ {\displaystyle \ell } 次元標準正規確率変数ベクトルである[1]:p. 454。
正規確率変数ベクトル

確率変数ベクトル X = ( X 1 , … , X k ) T {\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{k})^{\mathrm {T} }} が正規確率変数ベクトルであるとは、 ℓ {\displaystyle \ell } 成分の標準正規確率変数ベクトル Z {\displaystyle \mathbf {Z} } 、 k {\displaystyle k} 次元平均ベクトル μ {\displaystyle \mathbf {\mu } } 、および k × ℓ {\displaystyle k\times \ell } 行列 A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} があって、 X = A Z + μ {\displaystyle \mathbf {X} ={\boldsymbol {A}}\mathbf {Z} +\mathbf {\mu } } と書けることを言う[2]:p. 454[1]:p. 455。