代数学における適当な単位的可換環 A に係数を持つ多変数多項式（たへんすうたこうしき、英: multi­variable polynomial; multi­variate polynomial, 仏: polynome en plusieurs indeterminees, 多元多項式）は、不定元 X に関する一変数多項式環 A[X] を一般化する A-結合多元環の元を言う。有限個の不定元に関する多項式環 A[X1, …, Xn] は n に関して帰納的に構成できる。すなわち、この多項式環は、一つの不定元 Xn の多項式環 A[X1, …, Xn?1] に係数を持つ多項式全体の成す環である。任意の添字集合 I（無限集合でもよい）で添字付けられた任意個数の不定元 Xi (i ∈ I) に関する多項式環 A[(Xi)i∈I] は、I の任意の有限部分集合 J に対する多項式環 A[(Xi)i∈J] を亙る「合併」として定義される。より精確には、I が有限でも無限でも、A[(Xi)i∈I] はモノイド環として定義できる。それはつまり、モニック単項式（つまり有限個の不定元 Xi からなる冪積）全体の成すモノイドを考え、それら単項式の A-係数の形式線型結合として多項式は定義されるということである。

以下本項では、A は単位的可換環とし、A-多元環は結合的かつ単位的な多元環を意味するものとする。
目次

1 帰納的構成

1.1 有限変数の帰納的構成

1.2 無限変数への拡張


2 モノイド環としての構成

2.1 モニック単項式のモノイド

2.2 対応するモノイド環


3 記法

4 性質

4.1 普遍性

4.2 次数

4.3 函手性

4.4 代数的集合


5 重要な多項式のクラス

5.1 斉次多項式

5.2 対称多項式


6 注

6.1 注釈

6.2 出典


7 参考文献

8 関連項目

9 外部リンク

帰納的構成
有限変数の帰納的構成

n 変数の A-係数多項式環 A[X1, …, Xn] は n に関して帰納的に定義される[注釈 1] :

0 個の不定元に関する A-係数多項式環とは、単に A それ自身のこととする。

n > 1 に対し、A[X1, …, Xn] は、係数環 B がひとつ前のステップで構成済みの多項式環 A[X1, …, Xn?1] となっている多項式環 B[Xn] である。

定義により、（帰納的に）直ちにわかることは A[X1, …, Xn] は

可換環であり、整域となるための必要十分条件は A がそうであることである。

A を部分環として含み、したがって A-多元環となる。

A-加群として自由であり、その標準基底は単項式 X k1
1 ?X kn
n （各 ki は非負整数）の全体で与えられる。

上記の帰納的定義をより具体的に書けば、A[X1, …, Xn] の元は P = ∑ j = 0 m P j X n j ( P j ∈ A [ X 1 , … , X n − 1 ] ) {\displaystyle P=\sum _{j=0}^{m}P_{j}X_{n}^{j}\qquad (P_{j}\in A[X_{1},\dotsc ,X_{n-1}])} なる形の有限和に書けて、さらに各 Pj は P j = ∑ k 1 , … , k n − 1 ∈ { 0 , … , d j } a k 1 , … , k n − 1 , j X 1 k 1 ⋯ X n − 1 k n − 1 ( a k 1 , … , k n − 1 , j ∈ A ) {\displaystyle P_{j}=\sum _{k_{1},\dotsc ,k_{n-1}\in \{0,\dotsc ,d_{j}\}}a_{k_{1},\dotsc ,k_{n-1},j}X_{1}^{k_{1}}\dotsb X_{n-1}^{k_{n-1}}\qquad (a_{k_{1},\dotsc ,k_{n-1},j}\in A)} なる有限和に書けるということになる。あるいは、m 個の d0, …, dm の上界（英語版）を d として、Pj および A に属する係数のリストを適当に 0 で埋めれば、 P j = ∑ k 1 , … , k n − 1 ∈ { 0 , … , d } a k 1 , … , k n − 1 , j X 1 k 1 ⋯ X n − 1 k n − 1 {\displaystyle P_{j}=\sum _{k_{1},\dotsc ,k_{n-1}\in \{0,\dotsc ,d\}}a_{k_{1},\dotsc ,k_{n-1},j}X_{1}^{k_{1}}\dotsb X_{n-1}^{k_{n-1}}} と多少簡単に書けて、最終的に n 変数多項式は P = ∑ j = 0 d P j X n j = ∑ k 1 , … , k n − 1 , j ∈ { 0 , … , d } a k 1 , … , k n − 1 , j X 1 k 1 ⋯ X n − 1 k n − 1 X n j {\displaystyle P=\sum _{j=0}^{d}P_{j}X_{n}^{j}=\sum _{k_{1},\dotsc ,k_{n-1},j\in \{0,\dotsc ,d\}}a_{k_{1},\dotsc ,k_{n-1},j}X_{1}^{k_{1}}\dotsb X_{n-1}^{k_{n-1}}X_{n}^{j}} なる形をしている。
無限変数への拡張

上記の定義からわかることとして:

多項式環 A[X1, …, Xn] は（自然同型が存在するという意味において）構成に現れる不定元を添加する順番に依らず定まる。この環を A[(Xi)i∈{1,…,n}] と書いたり（不定元の添字の付け替えも含めて）順序付けられていない n 元集合 I を用いて A[(Xi)i∈I] と書いたりもする。

任意の部分集合 J ⊂ I に対して A[(Xj)j∈J] は A[(Xi)i∈I] の部分環となる。

これらの事実により、任意の集合 S（これは有限でなくても、さらに可算でさえなくてもよい）に対する多項式環 A[(Xs)s∈S] を定義することが可能であり、それは S の有限部分集合 I すべてに亘る A[(Xi)i∈I] の合併（厳密には帰納極限）として定まる。

いくつかの基本性質はこの定義から直ちに得られる:

多項式環 A[(Xs)s∈S] が整域となるための必要十分条件は A がそうであることである。

任意の部分集合 J ⊂ S に対し、多項式環 A[(Xs)s∈S] は A[(Xj)j∈J][(Xk)k∈S∖J] と同一視される。

S がその部分集合の（包含関係を順序として）成す鎖 F の合併に一致するならば A[(Xs)s∈S] は F に属する I すべてに亘る A[(Xi)i∈I] の合併に一致する。