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数学における多元数（たげんすう、英: hypercomplex number; 超複素数）は、実数体上の単位的多元環の元を表す歴史的な用語である。多元数の研究は19世紀後半に現代的な群の表現論の基盤となった。
歴史（英語版
カタログ化の試みは1872年にベンジャミン・パースが著書 Linear Associative Algebra（『結合線型環』）を初版した時に始まり、それは息子のチャールズ・サンダース・パースに引き継がれた[1]。最も著しい点は、かれらが分類に有効な多元数として冪零元および冪等元を同定したことである。ケーリー＝ディクソン構成では、対合を用いて実数の体系から複素数、四元数、八元数が作り出される。フルヴィッツとフロベニウスはこのような超複素数性に限界があることを述べる定理を証明している（フルヴィッツの定理 (合成代数)（英語版）およびフロベニウスの定理 (代数学)の項を参照）。最終的に、1958年にＪ・フランク・アダムズが位相的な方法を用いて有限次元実多元体が四種類（実数体 R, 複素数体 C, 四元数体 H, 八元数体 O）に限り存在することを証明した[2]。
多元数の体系（超複素数系）の手綱をとったのは行列論であった。まず行列を用いて、実二次正方行列のような新たな多元数が供給される。すぐに、行列のパラダイムは、行列とその演算を用いて表現することでほかの多元数を説明するようになる。1907年にジョセフ・ウェダーバーン（英語版）は結合的な超複素数系は必ず行列環か行列環の直和として表現されなければならないことを示した（アルティン・ウェダーバーンの定理）。これ以降、ウェダーバーンのエディンバラ大学での修士論文タイトルにも見られるように、このような超複素数系を言い表す用語として結合多元環 (associative algebra) が用いられるようになっていった[3]。それでもなお、八元数や双曲四元数（英語版）のような非結合的な体系の表す別種の超複素数系があることに注意すべきである。
ホーキンスの説明によれば、超複素数系はリー群およびその表現論を学ぶための布石である[4]。例えば、1929年にエミー・ネーターは ?Hyperkomplexe Grosen und Darstellungstheorie“（『超複素数量および表現論』）を書き下ろした[5]。1973年に書かれた多元数に関する教科書 Гиперкомплексные числа Кантор & Солодовников (1973) は各国語で翻訳が出ている[6]。
カレン・パーシャル（英語版）は[7]、テオドール・モリーン（英語版）[8]やエデュアルト・シュテューディ（英語版）[9]らの著名な役割を含む、多元数の黄金時代の詳細な説明を書いている。現代代数学への移り変わりについて、B・L・ファン・デル・ヴェルデンは自身の著書 History of Algebra（『代数学の歴史』）において多元数について30頁の紙幅を割いている[10]。 Кантор & Солодовников (1973)によれば、多元数あるいは超複素数は、実数体 R 上有限次元の単位的分配多元環（結合的である必要はない）の元として定義されている。n-次元の各多元数（n-元数）x は、実数係数 a0, …, an−1 を用いて基底 {1, i1, …, in−1} の一次結合 x = a 0 1 + a 1 i 1 + ⋯ + a n − 1 i n − 1 {\displaystyle x=a_{0}1+a_{1}i_{1}+\dotsb +a_{n-1}i_{n-1}} の形に書き表される。可能ならば、各基底 ik について、その平方 ik2 が −1, 0, 1 のいずれかになるようにするのが慣習である。 クリフォード代数は、二次形式を備える線型空間を台として、その上に構成される単位的結合多元環である。
定義
例詳細は「二元数」を参照
定理[11][12][13]
同型を除いて、実数体上二次元の単位的多元環は通常の複素数、分解型複素数、二重数のちょうど三種類しかない。
いくつかの系列について
クリフォード代数詳細は「クリフォード代数」を参照
