この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方）
出典検索?: "変分原理" ? ニュース ・ 書籍 ・ スカラー ・ CiNii ・ J-STAGE ・ NDL ・ dlib.jp ・ ジャパンサーチ ・ TWL（2011年7月）

変分原理（へんぶんげんり、英語: variational principle）は、変分法を用いた物理学の原理。特に、

幾何光学においては、フェルマーの原理

電磁気学におけるディリクレの原理

古典力学、電磁気学、量子力学などにおいては、作用次元を持つので、最小作用の原理という。

変分原理は積分の形で扱うので、座標系の取り方に依存しない。従って拡張性に優れ、いろいろな分野に応用、利用される。
古典力学

作用積分S を、 S [ q ( t ) ] := ∫ t 1 t 2 L ( q ( t ) , q ˙ ( t ) , t ) d t , {\displaystyle S\left[q(t)\right]:=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L(q(t),{\dot {q}}(t),t)dt,}

とする。L はラグランジアン、q(t) は一般化座標、 q ˙ ( t ) := d q ( t ) / d t {\displaystyle {\dot {q}}(t):=dq(t)/dt} はその時間微分、すなわち一般化速度である。ここで、ある時刻t1、t2 において、q(t1)、q(t2) は固定されているとする。

この作用積分 S に対する変分原理は、作用積分に対する停留値問題を考えることであり、 δ S [ q ( t ) ] = δ ∫ t 1 t 2 L ( q ( t ) , q ˙ ( t ) , t ) d t = 0 {\displaystyle \delta S\left[q(t)\right]=\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(q(t),{\dot {q}}(t),t)dt=0}

ということに相当する。変分は、一般化座標 q を、 q ( t ) → q ( t ) + δ q ( t ) , {\displaystyle q(t)\to q(t)+\delta q(t),}

と時刻 t 上で δq だけ微小変化させることに相当する。変分におけるこの微小変化は仮想的な変位を与えることであり、これは時間 t に対する微小変位 dq とは異なった概念である。δq は元の経路 q(t) 近傍の別の（仮想的な）経路との差であり、他方、時間変化 dq は経路 q に沿った変化の大きさを表す。

一般化座標 q の微小変化 δq について、始点 t =t1 と終点 t =t2 においては経路が固定されているので、 δ q ( t 1 ) = δ q ( t 2 ) = 0 {\displaystyle \delta q(t_{1})=\delta q(t_{2})=0}

は常に満たされる。

一般化座標 q の表す経路の変化に伴い、一般化速度 q ˙ {\displaystyle {\dot {q}}} も微小変化する。 q ˙ ( t ) → q ˙ ( t ) + δ q ˙ ( t ) . {\displaystyle {\dot {q}}(t)\to {\dot {q}}(t)+\delta {\dot {q}}(t).}

ここで、一般化速度の微小変化 δ q ˙ ( t ) {\displaystyle \delta {\dot {q}}(t)} は、ある時刻t における、二つの経路での一般化速度の差を表す。 δ q ˙ ( t ) = d d t δ q ( t ) . {\displaystyle \delta {\dot {q}}(t)={\frac {d}{dt}}\delta q(t).}

作用積分の変分を計算すると、 δ S [ q ( t ) ] = S [ q + δ q ] − S [ q ] = ∫ t 1 t 2 L ( q ( t ) + δ q ( t ) , q ˙ ( t ) + δ q ˙ ( t ) , t ) d t − ∫ t 1 t 2 L ( q ( t ) , q ˙ ( t ) , t ) d t = ∫ t 1 t 2 [ L ( q + δ q , q ˙ + δ q ˙ , t ) − { L ( q , q ˙ + δ q ˙ , t ) − L ( q , q ˙ + δ q ˙ , t ) } − L ( q , q ˙ , t ) ] d t , {\displaystyle {\begin{aligned}\delta S\left[q(t)\right]&=S\left[q+\delta q\right]-S\left[q\right]\\&=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L(q(t)+\delta q(t),{\dot {q}}(t)+\delta {\dot {q}}(t),t)dt-\int _{t_{1}}^{t_{2}}L(q(t),{\dot {q}}(t),t)dt\\&=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[L(q+\delta q,{\dot {q}}+\delta {\dot {q}},t)-\left\{L(q,{\dot {q}}+\delta {\dot {q}},t)-L(q,{\dot {q}}+\delta {\dot {q}},t)\right\}-L(q,{\dot {q}},t)\right]dt,\end{aligned}}}