この項目「変分モンテカルロ法」は翻訳されたばかりのものです。不自然あるいは曖昧な表現などが含まれる可能性があり、このままでは読みづらいかもしれません。（原文：en: Variational Monte Carlo）
修正、加筆に協力し、現在の表現をより自然な表現にして下さる方を求めています。ノートページや履歴も参照してください。（2018年8月）

計算物理学において、変分モンテカルロ法（へんぶんモンテカルロほう、英: variational Monte Carlo method, VMC）とは、量子系の基底状態を近似的に求めるための量子モンテカルロ法の一つで、変分法を用いる。

その基本的構成要素はなんらかのパラメータ a {\displaystyle a} に依存する一般化波動関数 。 Ψ ( a ) ⟩ {\displaystyle |\Psi (a)\rangle } である。このパラメータ a {\displaystyle a} について系のエネルギーを最小化するような最適値を探索する。

具体的には、ハミルトニアンを H ^ {\displaystyle {\hat {H}}} 、多体配座を  X {\displaystyle X} と書くことにすると、エネルギー期待値は次のように書くことができる。 E ( a ) = ⟨ Ψ ( a ) 。 H ^ 。 Ψ ( a ) ⟩ ⟨ Ψ ( a ) 。 Ψ ( a ) ⟩ = ∫ d X   。 Ψ ( X , a ) 。 2 H ^ Ψ ( X , a ) Ψ ( X , a ) ∫ d X   。 Ψ ( X , a ) 。 2 {\displaystyle E(a)={\frac {\langle \Psi (a)|{\hat {H}}|\Psi (a)\rangle }{\langle \Psi (a)|\Psi (a)\rangle }}={\frac {\displaystyle \int dX~|\Psi (X,a)|^{2}{\frac {{\hat {H}}\Psi (X,a)}{\Psi (X,a)}}}{\displaystyle \int dX~|\Psi (X,a)|^{2}}}}

ここで、モンテカルロ法により積分を評価する際、 。 Ψ ( X , a ) 。 2 / ∫ d X   。 Ψ ( X , a ) 。 2 {\displaystyle |\Psi (X,a)|^{2}/\int dX~|\Psi (X,a)|^{2}} を確率分布関数として標本点を選びだせば、エネルギー期待値 E ( a ) {\displaystyle E(a)} をいわゆる局所エネルギー  E loc ( X ) = H ^ Ψ ( X , a ) / Ψ ( X , a ) {\displaystyle E_{\textrm {loc}}(X)={\hat {H}}\Psi (X,a)/\Psi (X,a)} の平均値として評価することができる。 E ( a ) {\displaystyle E(a)} が所与の変分パラメータ a {\displaystyle a} について得られたならば、エネルギーを最小化するよう変分パラメータを最適化することにより、基底状態波動関数の可能な限り最適な表現を得ることができる。VMC は、多次元積分を数値積分により評価するという点以外は他の変分法と全く変りがない。この問題においては、ありうる全ての配座  から構成される多体ヒルベルト空間の次元が典型的には物理系のサイズに対し指数関数的に大きくなるため、モンテカルロ積分が特に重要となる。エネルギー期待値を数値的に評価するための他の手法は、モンテカルロ法をもちいるものよりもずっと小さい系にしか適用できないことが一般的である。この手法の精度は変分状態の選択に大きく依存する。 最も簡単な選択は典型的には平均場形式、すなわち Ψ {\displaystyle \Psi } をヒルベルト空間上で因数分解された形で書くことである。この特に単純な形式では、多体効果が無視されているため典型的にはあまり正確ではない。波動関数を分離可能な形で書いた場合に比べた際の精度向上に最も寄与するものの一つは、いわゆる Jastrow 因子の導入である。この場合、波動関数は  Ψ ( X ) = exp ⁡ ( ∑ u ( r i j ) ) {\displaystyle \Psi (X)=\exp(\sum {u(r_{ij})})}  のように書き下される。ここで、 r i j {\displaystyle r_{ij}} は粒子対間の距離、 u ( r ) {\displaystyle u(r)} は変分法により決定される関数である。この因子により明示的に粒子・粒子間の相関を考慮することができるが、多体積分は分離不可能となるため、これを効率的に評価できる方法はモンテカルロ法のみとなる。 化学的系においては、30個未満のパラメータで電子相関エネルギーの80%から90%を得ることができる、わずかだけ洗練されたものが存在する。