境界要素法（きょうかいようそほう、英: boundary element method、BEM）とは、汎用性の高い離散化解析手法の1つで[1][2][3]、有限差分法[4][5]、有限体積法[6]、有限要素法[7][8][9][10]と並び、汎用離散化解析手法の主要3解法の1つとして理工学の分野で受け入れられている。電子計算機の発明・発展以前から進められてきた、応用数学における積分方程式の研究[11][12][13][14]に端を発していることもあり、境界積分方程式法（Boundary Integral Equation Method、略してBIEM）と呼ばれることもある[15][16]。

電磁気学では、この境界要素法をもちいた電磁界解析をモーメント法（Method of Moments、MOM）と呼んでいる[17][18][19][20]。
解法の基本的な考え方[1][2][3]

解析手法は、積分方程式の定式化と離散化の2段階を経て構成される。
境界積分方程式の定式化[1][2][3]

境界要素法では、まず対象とする問題の支配（微分）方程式から境界積分方程式を導出する。定式化には直接法と間接法の2種類がある。今日では、支配方程式の未知量をそのまま積分方程式の未知量として取り扱うことのできる、直接法定式化を採用する場合が多い。ここでは、2次元ラプラス問題を例に、直接法定式化による境界積分方程式の導出方法を説明する。
例：2次元ラプラス問題

ラプラス問題は、支配方程式： ∇ 2 u = ∂ 2 u ∂ x 1 2 ( x ) + ∂ 2 u ∂ x 2 2 ( x ) = 0 , ( x ∈ Ω ) {\displaystyle \nabla ^{2}u={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{1}^{2}}}({\boldsymbol {x}})+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{2}^{2}}}({\boldsymbol {x}})=0,\quad \quad ({\boldsymbol {x}}\in \Omega )}

と、境界条件： u ( x ) = u ¯ ( x ) , ( x   o n   Γ u ) , q ( x ) = ∂ u ∂ n ( x ) = q ¯ ( x ) , ( x   o n   Γ q ) , {\displaystyle {\begin{aligned}u({\boldsymbol {x}})&={\bar {u}}({\boldsymbol {x}}),\quad ({\boldsymbol {x}}\ \mathrm {on} \ \Gamma _{u}),\\q({\boldsymbol {x}})&={\frac {\partial u}{\partial n}}({\boldsymbol {x}})={\bar {q}}({\boldsymbol {x}}),\quad ({\boldsymbol {x}}\ \mathrm {on} \ \Gamma _{q}),\end{aligned}}}

とを同時に満たす解（ポテンシャル）u を求める問題である。ここで、Ωは領域であり、領域の境界Γは、ポテンシャルu が規定されている境界Γu と、フラックス q = ∂ u / ∂ n {\displaystyle q=\partial u/\partial n} が規定されている境界Γq からなり、 Γ u ∪ Γ q = Γ , Γ u ∩ Γ q = ∅ {\displaystyle \Gamma _{u}\cup \Gamma _{q}=\Gamma ,\Gamma _{u}\cap \Gamma _{q}=\emptyset } であるものとする。また、n は境界での外向き法線方向を示す。

上で示した支配方程式と関数u* とをかけ合わせてΩに関する領域積分を考えると、u が真の解であれば支配方程式を満足するため、これを含む項を積分しても0となる。 ∫ Ω ( ∂ 2 u ∂ x 1 2 ( x ) + ∂ 2 u ∂ x 2 2 ( x ) ) u ∗ ( x ) d Ω = 0 {\displaystyle \int _{\Omega }\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{1}^{2}}}({\boldsymbol {x}})+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{2}^{2}}}({\boldsymbol {x}})\right)u^{*}({\boldsymbol {x}})d\Omega =0}

この恒等式を2回部分積分すると、 q ∗ = ∂ u ∗ / ∂ n {\displaystyle q^{*}=\partial u^{*}/\partial n} として、 ∫ Γ q ( x ) u ∗ ( x ) d Γ x − ∫ Γ u ( x ) q ∗ ( x ) d Γ x + ∫ Ω u ( x ) ( ∂ 2 u ∗ ∂ x 1 2 ( x ) + ∂ 2 u ∗ ∂ x 2 2 ( x ) ) d Ω x = 0 , {\displaystyle \int _{\Gamma }q({\boldsymbol {x}})u^{*}({\boldsymbol {x}})d\Gamma _{x}-\int _{\Gamma }u({\boldsymbol {x}})q^{*}({\boldsymbol {x}})d\Gamma _{x}+\int _{\Omega }u({\boldsymbol {x}})\left({\frac {\partial ^{2}u^{*}}{\partial x_{1}^{2}}}({\boldsymbol {x}})+{\frac {\partial ^{2}u^{*}}{\partial x_{2}^{2}}}({\boldsymbol {x}})\right)d\Omega _{x}=0,}