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トーラス上の点 p を始点と終点にもつループ
数学、特に代数トポロジーにおいて、基本群（きほんぐん、英: fundamental group）とは、ある固定された点を始点と終点にもつふたつのループが互いに連続変形可能かを測る点付き位相空間に付帯する群である。直観的には、それは位相空間にある穴についての情報を記述している。基本群はホモトピー群の最初で最も単純な例である。基本群は位相不変量である。つまり同相な位相空間は同じ基本群を持っている。
基本群は被覆空間の理論を用いて研究することができる。なぜなら、基本群は元の空間に付帯する普遍被覆空間の被覆変換群に一致するからである。基本群のアーベル化は、その空間の第一ホモロジー群と同一視することできる。位相空間が単体複体に同相のとき、基本群は群の生成子と関係式のことばで明示的に記述することができる。
基本群はアンリ・ポアンカレによって1895年に論文"Analysis situs
[1]"で定義された。ベルンハルト・リーマンとポアンカレとフェリックス・クラインの仕事でリーマン面の理論において基本群の概念が現れた。基本群は閉曲面の位相的な完全な分類を提供するだけでなく、複素関数のモノドロミー的性質の記述もする。空間（例えば、曲面）とその中の点があり、この点を始点と終点とするすべてのループ ? この点を始点とし周囲を巡り最終的に始点に戻ってくる道 ? を考える。2つのループは明らかな方法でつなげることができる、すなわち第一のループに沿って移動してから、第二のループに沿って移動する。2つのループは、ループを壊すことなく一方から他方へ変形できるときに同値であると考える。すべてのそのようなループの集合にこの方法で合成と同値関係を入れたものがその空間の基本群である。 X を位相空間、x0 を X の点とする。x0 を基点とするループと呼ばれる連続写像 f : [ 0 , 1 ] → X , f ( 0 ) = x 0 = f ( 1 ) {\displaystyle f\colon [0,1]\to X,\quad f(0)=x_{0}=f(1)} の集合に注目する。基点 x0 を持つ X の基本群は、この集合をホモトピー h で割った集合 { f : [ 0 , 1 ] → X : f ( 0 ) = x 0 = f ( 1 ) } / h {\displaystyle \{f\colon [0,1]\to X:f(0)=x_{0}=f(1)\}/h} に、群の乗法を次のように与えたものである。 ( f ∗ g ) ( t ) = { f ( 2 t ) 0 ≤ t ≤ 1 2 g ( 2 t − 1 ) 1 2 ≤ t ≤ 1 . {\displaystyle (f\ast g)(t)={\begin{cases}f(2t)&0\leq t\leq {\tfrac {1}{2}}\\g(2t-1)&{\tfrac {1}{2}}\leq t\leq 1\end{cases}}.} したがってループ f ? g はまずループ f を「2倍の速度」で回り、次にループ g を 2倍の速度で回る。2つのループのホモトピー類 [f] と [g] の積は、[f ? g] と定義され、この積は代表元の取り方に依らないことを示すことができる。 x0 を基点とするループのすべてのホモトピー類の集合に上記の積を考えたものが、点 x0 における X の基本群をなし、この基本群を π 1 ( X , x 0 ) , {\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0}),} あるいは、単に π(X, x0) と書く。単位元は基点に留まる定数写像で、ループ f の逆元は g(t) = f(1 ? t) で定義されるループ g である。すなわち、g は f の逆向きのループである。 基本群は一般的には基点の選択に依存しているが、空間 X が弧状連結である限り、同型を除いて（実は内部自己同型の違いを除いて）、この選択は何の差異ももたらさない。したがって弧状連結空間に対し、群の同型類
定義
n次元ユークリッド空間 Rnや Rn 内の任意の凸集合に対して、ループのホモトピー類が唯一つあり、したがって基本群はひとつの元からなる自明な群である。自明な基本群を持つ弧状連結な空間を単連結空間と呼ぶ。
無限巡回群になる基本群
例は円であり、各々のホモトピー類はある与えられた回数（周る方向によって正にも負にもなりうる）円の周りを周ったすべてのループからなる。
