初等幾何学における垂心（すいしん、英: orthocenter）は、三角形の3つの頂点から対辺に引いた三本の垂線の交点。
目次

1 性質

2 垂心の座標

3 関連項目

4 外部リンク

性質 三角形の垂心で交わる３本の頂垂線によって作られる６つの角には、図のように当該三角形の３つの角が２つずつ含まれる。 また、三角形の各辺を頂垂線との交点で分割し、分割後のそれぞれの長さの辺を持つ正方形を作り（６つ）、 図のように時計回りに赤・青・赤・青・赤・青とグループ分けして、赤と青の面積を求めると、両面積は等しくなっている。

3つの頂点を A,B,C、垂心を H、3本の垂線の足を Ha,Hb,Hc とする。

重心・外心と同一直線上にある。この線をオイラー線という。

直角三角形の垂心は、直角となる頂点である。鈍角三角形の垂心は、その三角形の外部にある。

垂心は三角形HaHbHcの内心か傍心となる。

垂心と外心の中点は九点円の中心である。

三角形ABHの垂心は、Cである。

A H ¯ ⋅ H H a ¯ = B H ¯ ⋅ H H b ¯ = C H ¯ ⋅ H H c ¯ {\displaystyle {\overline {AH}}\cdot {\overline {HH_{a}}}={\overline {BH}}\cdot {\overline {HH_{b}}}={\overline {CH}}\cdot {\overline {HH_{c}}}}

a sin ⁡ α = b sin ⁡ β = c sin ⁡ γ = A H cos ⁡ α = B H cos ⁡ β = C H cos ⁡ γ = 2 R {\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}={\frac {AH}{\cos \alpha }}={\frac {BH}{\cos \beta }}={\frac {CH}{\cos \gamma }}=2R}

a,b,c は3辺の長さ。α・β・γは3つの角。R は外接円の半径である。


P を外接円上の点とし、M を PH の中点とする。

M は九点円上にある。

P におけるシムソン線は M を通る。


各頂点ABCを通る対辺に対する平行線を3本とも引き、新たな三角形A'B'C'を作る（右図参照）。このとき、三角形ABCの垂心と三角形A'B'C'の外心は一致する。

垂心の座標

座標平面において、3頂点の座標を(xa,ya), (xb,yb), (xc,yc)とすると、垂心の座標は以下のようになる。

( 。 − x b x c − y a 2 y a 1 − x a x c − y b 2 y b 1 − x a x b − y c 2 y c 1 。 。 x a y a 1 x b y b 1 x c y c 1 。 , 。 x a − x a 2 − y b y c 1 x b − x b 2 − y a y c 1 x c − x c 2 − y a y b 1 。