数学の一分野である圏論において中核的な概念を成す圏（けん、英: category）は、数学的構造を取り扱うための枠組みであり、数学的対象をあらわす対象とそれらの間の関係を表す射の集まりによって与えられる。圏はそれ自体、群に類似した代数的構造として理解することができる。
二つの圏が等しいとは、それらの対象の集まりが等しく、かつそれら対象の間の射の集まりが等しく、さらにそれら射の対の結合の仕方が相等となることを言う。圏論の目的に照らせば、圏がまったく相等しいことは非常に強すぎる条件であり（それよりも緩い圏同型（英語版）でさえ強すぎる）、圏同値がしばしば考慮される（二つの圏が同値であるとは、大まかに言えば圏の相等において等式で与えられる関係を、それぞれの圏における同型で置き換えたものとして与えられる）。
圏論が初めて現れるのは "General Theory of Natural Equivalences"（「自然同値に関する一般理論」）と題された論文 (Eilenberg & Mac Lane 1945) である[1]。古典的だが今もなお広く用いられる教科書として、マクレーンの『圏論の基礎』がある。
群に似た構造
全域性結合性単位的可逆的
群YesYesYesYes
モノイドYesYesYesNo
半群YesYesNoNo
ループYesNoYesYes
準群YesNoNoYes
マグマYesNoNoNo
亜群（英語版）NoYesYesYes
圏NoYesYesNo
圏の定義にはいくつか同値なものが存在する[2]が、よく用いられるものの一つを以下に示す。圏 C は以下のものからなる:
定義
対象の類 ob(C)
対象の間の射の類 hom(C)
各射 f ∈ hom(C) には始域
a から b への射の類 (hom-class; ホム類) hom(a, b) は a から b への射全体の成す類を言う。
このとき、任意の三対象 a, b, c ∈ ob(C) に対し、射の合成と呼ばれる二項演算 hom(a, b) × hom(b, c) → hom(a, c); (f, g) ? g ? f が存在して以下の公理を満足する:
結合律: f: a → b, g: b → c, h: c → d ならば h ? (g ? f) = (h ? g) ? f が成り立つ。
単位律: 各対象 x ∈ ob(C) に対して x の恒等射と呼ばれる自己射 idx = 1x: x → x が存在して、任意の射 f: a → x および g: x → b に対して 1x ? f = f and g ? 1x = g を満たす。
これらの公理から、各対象に対して恒等射はただ一つ存在することが示せる。文献によっては各対象を対応する恒等射と同一視して、対象の存在を陽に仮定しない定義を採用するものもある。
記法についての注意
一般の圏を表すのに、しばしばラテン大文字の太字 C, D, … や、ラテン大文字のカリグラフ体 ?, ?, ?, … などが用いられる。特定の圏は、その対象を表す単語（の省略形）を用いて同様の仕方であらわす。例えば集合の圏 Set, ??? や体の圏 Field, ?????, 位相空間の圏 Top, ???, 束の圏 Bdl, ??? のような具合である。
圏 C の射の類 hom(C) は mor(C) や arr(C) などとも書く。同様に対象 a, b ∈ ob(C) に対する射の類も mor(a, b) や arr(a, b) などとも書かれる。どの圏で射を考えているか紛らわしいときには、homC(a, b) や morC(a, b) のように圏を明示することもできる。より簡便な記法では、圏 C の対象の類を |C| で表し、射の類を記号の濫用だが C で表す（この場合 a から b への射の類は単に C(a, b) と書く）。
射の合成を g ? f で（あるいは単に併置 gf で）表すのは写像とその合成の慣習に合わせたものだが、文献によっては「図式順」で f;g や fg と書くものもある[注釈 1]。
圏の大きさ
圏 C が小さい (small) とは、対象の類 ob(C) および射の類 hom(C) がともに集合となる（つまり真の類でない）ときに言い、さもなくば大きい (large) と言う。射の類が集合とならずとも、任意の二対象 a, b ∈ ob(C) をとるごとに、射の類 hom(a, b) が集合となるならば（hom(a, b) を射集合、ホム集合などと呼び）、その圏は局所的に小さい (locally small) と言う[3]。集合の圏など数学における重要な圏の多くは、小さくないとしても、少なくとも局所的に小さい。
文献によっては、局所的に小さい圏のみを扱い、それを単に圏と呼ぶ場合もある[4][5]。 以下は圏の例である。Borceux (1994, Examples 1.2.5, Examples 1.2.6)参照。
例
EtaleK - 体 K 上のエタール代数
コボルディズムは圏と見なせる。
分類圏と記号対象の類射の類合成大きさ備考
具体圏集合の圏 Set全ての集合全ての写像写像の合成大きい
マグマの圏 Mag全てのマグマ全てのマグマ準同型
半群の圏 SemiGrp全ての半群全ての半群準同型
モノイドの圏 Mon全てのモノイド全てのモノイド準同型
群の圏 Grp全ての群全ての群準同型
アーベル群の圏 Ab全てのアーベル群群の圏の充満部分圏
Z-加群の圏と同じもの
擬環の圏 Rng全ての擬環全ての擬環準同型
環の圏 Ring全ての単位的環全ての単位的環準同型
加群の圏 R-Mod全てのR-加群全てのR-加群準同型R は任意に固定した環
非可換環なら左/右/両側加群の圏を考え得る
ベクトル空間の圏 K-Vect全ての K-ベクトル空間全ての K-線型写像K は任意に固定した可換体
K-加群の圏と同じもの
表現の圏 G-Mod全ての G-アーベル群全ての G-同変写像（英語版）G は固定した群
Z[G]-加群の圏と同じもの
線型表現の圏 G-VectK全ての (K-係数) G-線型空間全ての G-同変線型写像G は固定した群
K[G]-加群の圏と同じもの
射影表現の圏 G-ProjK全ての (K-係数) G-射影空間全ての G-同変射影変換G は固定した群
多元環の圏 K-Alg全ての K-多元環全ての K-多元環準同型K は固定した可換環または可換体
結合多元環の圏は分配多元環の圏の充満部分圏
可換多元環の圏は（可換とは限らない）多元環の圏の充満部分圏
位相空間の圏 Top全ての位相空間全ての連続写像
一様空間の圏 Uni全ての一様空間全ての一様連続写像
距離空間の圏 Met全ての距離空間全ての縮小写像射は別の種類の写像を考え得る
多様体の圏 Manp全ての Cp-級多様体全ての Cp-級写像
ファイバー束の圏 Bdl全てのファイバー束全ての束写像
前順序集合の圏 Ord全ての前順序集合全ての単調写像
関係の圏 Rel全ての集合全ての二項関係関係の合成大きい具体圏同様に対象を制限して様々な部分圏を考え得る
離散圏離散圏 C類 C (任意)恒等射のみ場合による
I 上の離散圏 I集合 I小さい
前順序集合（英語版） (P, ?)集合 PHom(x, y) ? {x → y} (if x ? y),
Hom(x, y) ? ∅ (otherwise)推移律小さい反射律は射の単位律に相当
半順序, 全順序集合, 順序数などでも同じ
同値関係 R を持つ集合 (X, R)集合 XHom(x, y) ? {x → y} (if x R y),