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出典検索?: "固有多項式" ? ニュース ・ 書籍 ・ スカラー ・ CiNii ・ J-STAGE ・ NDL ・ dlib.jp ・ ジャパンサーチ ・ TWL（2015年3月）

線型代数学において、固有多項式（こゆうたこうしき、characteristic polynomial）あるいは特性多項式（とくせいたこうしき）とは、有限次元線形空間での線形変換に対してその固有値を求めるために得られる多項式のことである。特に正方行列に対して定義される。

固有多項式は、その線形変換（正方行列）の行列の固有値、行列式、トレース、最小多項式といった重要な量と関連している。相似な行列に対しては同じ固有多項式が定まる。

またグラフ理論において、グラフの固有多項式とは、グラフの隣接行列の固有多項式のことを指す。この多項式はグラフの不変量となっている。すなわち同型なグラフは同じ固有多項式を持つ。
動機

n次正方行列 A に対して、Ax = λx

を満たすスカラー λ, ベクトル x ≠ o が存在するとき、λ を A の固有値、x を A の固有値 λ に関する固有ベクトルという。

A の固有値をすべて求めることを考える。

条件 Ax = λx は(λI − A)x = o

と同値である（ここで I は単位行列）。したがって λ が A の固有値である必要十分条件は、一次方程式 ( λ I − A ) x = o {\displaystyle (\lambda I-A){\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {o}}}

の非自明な解 x ≠ o が存在すること、つまり det ( λ I − A ) = 0 {\displaystyle \det(\lambda I-A)=0}

となることである。

これは λ についての n次方程式である。この方程式を A の固有方程式あるいは特性方程式と言う。
定義

K を体（例えば実数体や複素数体）とする。K の元を成分とする n次正方行列 A に対して、A の固有多項式とは、 p A ( t ) = det ( t I − A ) {\displaystyle p_{A}(t)=\det(tI-A)}

で定義される多項式 pA(t) のことである。ここで I は単位行列である。

（pA(t) = det(A − tI) を定義とする場合もあるが、n が奇数のときに限り符号 −1 が付くだけで、本質的に違いはない。）
例

次の実2次正方行列 A の固有値を求める。 A = [ 3 − 2 1 0 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}3&-2\\1&0\end{bmatrix}}}

そのために、A の固有多項式 p(t) を求める。 p A ( t ) = det ( t I − A ) = 。 t − 3 2 − 1 t 。 = ( t − 3 ) t − 2 ( − 1 ) = t 2 − 3 t + 2 = ( t − 1 ) ( t − 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}p_{A}(t)&=\det(tI-A)\\&={\begin{vmatrix}t-3&2\\-1&t\end{vmatrix}}\\&=(t-3)t-2(-1)\\&=t^{2}-3t+2\\&=(t-1)(t-2)\end{aligned}}}

となる。よって A の固有値は 1, 2 である。
性質

固有多項式 pA(t) は、A の重複を込めた全ての固有値を根にもつ最小次数のモニックな（すなわち最高次係数が 1 の）n次多項式である。