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数学において整数 N の約数（やくすう、英: divisor）とは、N を割り切る整数またはそれらの集合のことである。割り切るかどうかということにおいて、符号は本質的な問題ではないため、N を正の整数（自然数）に、約数は正の数に限定して考えることも多い。自然数や整数の範囲でなく文字式や抽象代数学における整域などで「約数」と同様の意味を用いる場合は、「因数」（いんすう）、「因子」（いんし、英: factor）が使われることが多い。

整数 a が整数 N の約数であることを、記号 。を用いて a 。N と表す。

約数の定義を式で表すと、「整数 a ≠ 0 が N の約数であるとは、ある整数 b をとると N = ab が成立することである」であるが、条件「a ≠ 0」を外すこともある（その場合、N = 0 のとき 0 も約数になる）。

自然数（正の整数）で考えている文章では、ことわりがなくても「約数」を前提にしていることは多い。
定義

整数 a ≠ 0 が N の約数であるとは、「ある整数 b をとると N = ab が成立することである」であるが、条件「a ≠ 0」を外すこともある。このときは、N = 0 のときに限り 0 も約数になる。約数が無数にある整数は 0 だけである。

負の符号は本質的な問題ではないため、ここでは以下現れる数はすべて自然数とする。

どのような自然数 N に対しても、1 と自分自身 N は N の約数である。2 以上の自然数はさらに、約数の個数が 2 であるかそれより大かで分けられる。1 と自分自身以外に約数をもたない自然数を素数といい、そうでない自然数を合成数という。合成数は重複を許した2個以上の素数の積である。

例えば、2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, …（オンライン整数列大辞典の数列 A40）

は素数であるが、12 の約数は、12 ÷ 1 = 1212 ÷ 2 = 612 ÷ 3 = 412 ÷ 4 = 312 ÷ 6 = 2

より、1, 2, 3, 4, 6, 12 の6個である。

合成数の列は4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, …（オンライン整数列大辞典の数列 A002808）

例えば 60 は約数の個数が12個もあり、もれなく挙げるのはたいへんである。そこで、「a が N の約数ならば、.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}N/a も N の約数である」ことを使うと、半分程度の労力で済む。60 の約数：1, 2, 3, 4, 5, 6, 60/6, 60/5, 60/4, 60/3, 60/2, 60/1

一般に、平方数のときに限り約数の個数は奇数になる。36 の約数：1, 2, 3, 4,6(=36/6), 36/4,36/3, 36/2, 36/1

一般に、約数の個数を求めるとなると、素因数分解が効果を発揮する。N の素因数分解を N = 2a13a25a3? とすると、N の約数の個数は (a1 + 1)(a2 + 1)(a3 + 1)?個

素因数分解の可能性と一意性（特に一意性）は自明な定理ではない（これを算術の基本定理という）。しかし、これにより約数を式で表すことができる：60 = 22 × 3 × 5 より、60 の約数：2a × 3b × 5c (0 ? a ? 2, 0 ? b ? 1, 0 ? c ? 1)
約数に関する定義と性質

整数 N に対して、±1, ±N を N の自明な約数という。自明でない約数を真の約数という。

0 の約数は、全ての（0 でない）整数である。

自然数 N の正の約数の個数を d(N) で表す。これは約数関数 σx の x = 0 の場合である。
N の素因数分解を N = 2a13a25a3? とすると、d(N) = (a1 + 1)(a2 + 1)(a3 + 1)?
約数の個数

自然数 N の正の約数の個数を d(N) で表す。

N の素因数分解を N = 2a13a25a3… とすると、d(N) = (a1 + 1)(a2 + 1)(a3 + 1)…

個数数概要OEIS
11
22, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, …素数オンライン整数列大辞典の数列 A000040
34, 9, 25, 49, 121, 169, 289, 361, 529, 841, …素数の自乗オンライン整数列大辞典の数列 A001248
46, 8, 10, 14, 15, 21, 22, 26, 27, 33, 34, 35, …素数の立方
pq（p, q は異なる素数）オンライン整数列大辞典の数列 A030513
516, 81, 625, 2401, 14641, 28561, 83521, …素数の4乗オンライン整数列大辞典の数列 A030514
612, 18, 20, 28, 32, 44, 45, 50, 52, 63, 68, …素数の5乗
pq2（p, q は異なる素数）オンライン整数列大辞典の数列 A030515
764, 729, 15625, 117649, 1771561, …素数の6乗オンライン整数列大辞典の数列 A030516
824, 30, 40, 42, 54, 56, 66, 70, 78, 88, …素数の7乗
楔数
pq3（p, q は異なる素数）オンライン整数列大辞典の数列 A030626
936, 100, 196, 225, 256, 441, 484, 676, …素数の8乗
p2q2（p, q は異なる素数）オンライン整数列大辞典の数列 A030627
1048, 80, 112, 162, 176, 208, 272, 304, 368, …素数の9乗
pq4（p, q は異なる素数）オンライン整数列大辞典の数列 A030628
111024, 59049, 9765625, 282475249, …素数の10乗オンライン整数列大辞典の数列 A030629
1260, 72, 84, 90, 96, 108, 126, 132, 140, 150, …オンライン整数列大辞典の数列 A030630
134096, 531441, 244140625, …素数の12乗オンライン整数列大辞典の数列 A030631
14192, 320, 448, 704, 832, 1088, 1216, 1458, …素数の13乗
pq6（p, q は異なる素数）オンライン整数列大辞典の数列 A030632
15144, 324, 400, 784, 1936, 2025, 2500, 2704, …素数の14乗
p2q4（p, q は異なる素数）オンライン整数列大辞典の数列 A030633
16120, 168, 210, 216, 264, 270, 280, 312, 330, …オンライン整数列大辞典の数列 A030634
1765536, 43046721, 152587890625, …素数の16乗オンライン整数列大辞典の数列 A030635
18180, 252, 288, 300, 396, 450, 468, 588, 612, …オンライン整数列大辞典の数列 A030636
19262144, 387420489, 3814697265625, …素数の18乗オンライン整数列大辞典の数列 A030637
20240, 336, 432, 528, 560, 624, 648, 810, 816, …オンライン整数列大辞典の数列 A030638
21576, 1600, 2916, 3136, 7744, 10816, …素数の20乗
p2q6（p, q は異なる素数）オンライン整数列大辞典の数列 A137484
223072, 5120, 7168, 11264, 13312, 17408, …素数の21乗
pq10（p, q は異なる素数）オンライン整数列大辞典の数列 A137485
234194304, 31381059609, 2384185791015625, …素数の22乗オンライン整数列大辞典の数列 A137486
24360, 420, 480, 504, 540, 600, 630, 660, 672, …オンライン整数列大辞典の数列 A137487
251296, 10000, 38416, 50625, 194481, …素数の24乗
p4q4（p, q は異なる素数）オンライン整数列大辞典の数列 A137488
2612288, 20480, 28672, 45056, 53248, 69632, …素数の25乗
pq12（p, q は異なる素数）オンライン整数列大辞典の数列 A137489
27900, 1764, 2304, 4356, 4900, 6084, 6400, …オンライン整数列大辞典の数列 A137490
28960, 1344, 1728, 2112, 2240, 2496, 3264, …オンライン整数列大辞典の数列 A137491
29268435456, 22876792454961, …素数の28乗オンライン整数列大辞典の数列 A137492
30720, 1008, 1200, 1584, 1620, 1872, 2268, …オンライン整数列大辞典の数列 A137493
311073741824, 205891132094649, …素数の30乗オンライン整数列大辞典の数列 A139571
32840, 1080, 1320, 1512, 1560, 1848, 1890, …オンライン整数列大辞典の数列 A175742
339216, 25600, 50176, 123904, …素数の32乗
p2q10（p, q は異なる素数）オンライン整数列大辞典の数列 A175743
34196608, 327680, 458752, 720896, …素数の33乗
pq16（p, q は異なる素数）オンライン整数列大辞典の数列 A175744
355184, 11664, 40000, 153664, 250000, …素数の34乗
p4q6（p, q は異なる素数）オンライン整数列大辞典の数列 A175745
361260, 1440, 1800, 1980, 2016, 2100, …オンライン整数列大辞典の数列 A175746
3768719476736, 150094635296999121, …素数の36乗オンライン整数列大辞典の数列 A139572
38786432, 1310720, 1835008, …素数の37乗
pq18（p, q は異なる素数）オンライン整数列大辞典の数列 A175747
3936864, 102400, 200704, 495616, …素数の38乗
p2q12（p, q は異なる素数）オンライン整数列大辞典の数列 A175748
401680, 2160, 2640, 3024, 3120, 3240, …オンライン整数列大辞典の数列 A175749
411099511627776, 12157665459056928801, …素数の40乗オンライン整数列大辞典の数列 A139573