数学において、整数 N の約数（やくすう、英: divisor）とは、N を割り切る整数またはそれらの集合のことである。割り切るかどうかということにおいて、符号は本質的な問題ではないため、N を正の整数（自然数）に、約数は正の数に限定して考えることも多い。自然数や整数の範囲でなく文字式や抽象代数学における整域などで「約数」と同様の意味を用いる場合は、「因数」（いんすう）、「因子」（いんし、英: factor）が使われることが多い。

整数 a が整数 N の約数であることを、記号 。を用いて a 。N と表す。

約数の定義を式で表すと、「整数 a ≠ 0 が N の約数であるとは、ある整数 b をとると N = ab が成立することである」であるが、条件「a ≠ 0」を外すこともある（その場合、N = 0 のとき 0 も約数になる）。

自然数（正の整数）で考えている文章では、ことわりがなくても「約数」を前提にしていることは多い。目次

1 定義

2 約数に関する定義と性質

3 約数の個数

4 約数の和

4.1 約数の和の一覧

4.2 約数の和から元の自然数の求め方

4.3 約数の和の総和

4.4 その他


5 未解決問題

6 一般化

7 参考文献

8 関連項目

9 外部リンク

定義

整数 a ≠ 0 が N の約数であるとは、「ある整数 b をとると N = ab が成立することである」であるが、条件「a ≠ 0」を外すこともある。このときは、N = 0 のときに限り 0 も約数になる。約数が無数にある整数は 0 だけである。

負の符号は本質的な問題ではないため、ここでは以下現れる数はすべて自然数とする。

どのような自然数 N に対しても、1 と自分自身 N は N の約数である。2 以上の自然数はさらに、約数の個数が 2 であるかそれより大かで分けられる。1 と自分自身以外に約数をもたない自然数を素数といい、そうでない自然数を合成数という。合成数は重複を許した2個以上の素数の積である。

例えば、2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, …（オンライン整数列大辞典の数列 A40）

は素数であるが、6 の約数は、6 ÷ 1 = 66 ÷ 2 = 36 ÷ 3 = 26 ÷ 6 = 1

より、1, 2, 3, 6 である。合成数の列は4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, …（オンライン整数列大辞典の数列 A002808）

例えば 60 は約数の個数が12個もあり、もれなく挙げるのはたいへんである。そこで、「a が N の約数ならば、N/a も N の約数である」ことを使うと、半分程度の労力で済む。60 の約数：1, 2, 3, 4, 5, 6, 60/6, 60/5, 60/4, 60/3, 60/2, 60/1

一般に、平方数のときに限り約数の個数は奇数になる。36 の約数：1, 2, 3, 4,6(=36/6), 36/4,36/3, 36/2, 36/1

一般に、約数の個数を求めるとなると、素因数分解が効果を発揮する。N の素因数分解を N = 2a13a25a3? とすると、N の約数の個数は (a1 + 1)(a2 + 1)(a3 + 1)?個

素因数分解の可能性と一意性（特に一意性）は自明な定理ではない（これを算術の基本定理という）。しかし、これにより約数を式で表すことができる：60 = 22 × 3 × 5 より、60 の約数：2a × 3b × 5c (0 ? a ? 2, 0 ? b ? 1, 0 ? c ? 1)
約数に関する定義と性質

整数 N に対して、±1, ±N を N の自明な約数という。自明でない約数を真の約数という。

0 の約数は、全ての（0 でない）整数である。

自然数 N の正の約数の個数を d(N) で表す。これは約数関数 σx の x = 0 の場合である。
N の素因数分解を N = 2a13a25a3? とすると、d(N) = (a1 + 1)(a2 + 1)(a3 + 1)?
約数の個数

自然数 N の正の約数の個数を d(N) で表す。

N の素因数分解を N = 2a13a25a3… とすると、d(N) = (a1 + 1)(a2 + 1)(a3 + 1)…

個数数概要OEIS
11
22, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, …素数オンライン整数列大辞典の数列 A000040
34, 9, 25, 49, 121, 169, 289, 361, 529, 841, …素数の自乗オンライン整数列大辞典の数列 A001248
46, 8, 10, 14, 15, 21, 22, 26, 27, 33, 34, 35, …素数の立方
pq（p, q は異なる素数）オンライン整数列大辞典の数列 A030513
516, 81, 625, 2401, 14641, 28561, 83521, …素数の4乗オンライン整数列大辞典の数列 A030514
612, 18, 20, 28, 32, 44, 45, 50, 52, 63, 68, …素数の5乗
pq2（p, q は異なる素数）オンライン整数列大辞典の数列 A030515
764, 729, 15625, 117649, 1771561, …素数の6乗オンライン整数列大辞典の数列 A030516
824, 30, 40, 42, 54, 56, 66, 70, 78, 88, …素数の7乗
楔数
pq3（p, q は異なる素数）オンライン整数列大辞典の数列 A030626
936, 100, 196, 225, 256, 441, 484, 676, …素数の8乗
p2q2（p, q は異なる素数）オンライン整数列大辞典の数列 A030627
1048, 80, 112, 162, 176, 208, 272, 304, 368, …素数の9乗
pq4（p, q は異なる素数）オンライン整数列大辞典の数列 A030628
111024, 59049, 9765625, 282475249, …素数の10乗オンライン整数列大辞典の数列 A030629
1260, 72, 84, 90, 96, 108, 126, 132, 140, 150, …オンライン整数列大辞典の数列 A030630
134096, 531441, 244140625, …素数の12乗オンライン整数列大辞典の数列 A030631
14192, 320, 448, 704, 832, 1088, 1216, 1458, …素数の13乗
pq6（p, q は異なる素数）オンライン整数列大辞典の数列 A030632
15144, 324, 400, 784, 1936, 2025, 2500, 2704, …素数の14乗
p2q4（p, q は異なる素数）オンライン整数列大辞典の数列 A030633
16120, 168, 210, 216, 264, 270, 280, 312, 330, …オンライン整数列大辞典の数列 A030634
1765536, 43046721, 152587890625, …素数の16乗オンライン整数列大辞典の数列 A030635