ベクトル解析における回転（かいてん、英: rotation, curl）rot（または curl）は、三次元ベクトル場の無限小回転を記述するベクトル演算子
である。ベクトル場の各点において、ベクトル場の回転はベクトルとして表され、このベクトルの寄与（大きさと向き）によってその点での回転が特徴付けられる。 回転ベクトルの向きは回転軸に沿って右手系となる方にとり、回転ベクトルの大きさは回転の大きさとなる。例えば、与えられたベクトル場が、動いている流体の流速を表すものであるとき、その回転とはその流体の循環密度のことになる。回転場が 0 となるベクトル場は無回転
概要
場の回転はベクトル場に対する導函数に相当し、これに対応して微分積分学の基本定理に相当するのは、ベクトル場の回転場の面積分をそのベクトル場の境界曲線上での線積分と関係づけるストークスの定理（ストークス＝ケルビンの定理）であると考えられる。
回転演算に相当する用語は curl, rotation の他に rotor や rotational などがあり、記法 curl F に相当する記法は rot F や ∇ × F などがある。前者の rot 系の用語・記法を用いる流儀はヨーロッパ諸国の系統に多く、ナブラや交叉積を用いる記法はそれ以外の系統で使われる傾向にある。
勾配や発散とは異なり、回転の概念を単純に高次元化することはできない。ただし、三次元に限らないある種の一般化は可能で、それはベクトル場の回転がまたベクトル場となるように幾何学的に定義される。これは三次元交叉積がそうであるのと同様の現象であり、このことは回転を “∇×” で表す記法にも表れている。
回転 “curl” の名を最初に提示したものはジェームズ・クラーク・マクスウェルで1871年のことである[1]。 ベクトル場 F の回転は、curl F または ∇ × F と書かれ、各点での値はその点を通る無数の直線の上への射影によって定義される。その点を始点とする任意の単位ベクトル n? に対し、F の回転の n? の上への射影は n? に直交する平面内の閉路上の積分を積分路が囲む面積で割った値の、積分路をその点へ無限に近づけるときの極限値として定義される。こうして定義される回転作用素 curl はC1-級写像 R3 → R3 を C0-級写像 R3 → R3 へ写す。線積分におけるベクトルの向きの規約 同じことだが式で書けば、 ( curl F ) ⋅ n ^ := lim A → 0 ( 1 。 A 。 ∮ C F ⋅ d r ) {\displaystyle (\operatorname {curl} {\boldsymbol {F}})\cdot {\hat {\boldsymbol {n}}}:=\lim _{A\to 0}\left({\frac {1}{|A|}}\oint _{C}{\boldsymbol {F}}\cdot d{\boldsymbol {r}}\right)} によって curl は陰に定義されるのである[2][3]。ここで右辺の ∮ C F ⋅ d r {\textstyle \oint _{C}{\boldsymbol {F}}\cdot d{\boldsymbol {r}}} は、問題の領域の境界に沿った線積分であり、|A| はその領域の面積の大きさである。ν? が領域の外側を向いた平面内の法線のとき、n? がこの平面に直交する単位ベクトルである限りにおいて、積分路 C の向きは、C の接ベクトル ω? が正の向きであることを、三つ組 (n?, ν?, ω?) が R3 の正に向き付けられた基底（右手系）を成すことを以って定める。 上記の公式は、ベクトル場の回転というものが、その場の「循環」の無限小面積密度
定義
対応する大域公式としてのケルビン・ストークスの定理、
以下に挙げる曲線直交座標系における「覚えやすい」定義
とも適合する。後者の座標系の話は、例えばデカルト座標系、球面座標系、円筒座標系、あるいは楕円座標系（英語版）や抛物座標系（英語版）の場合にも ( curl F ) 3 = 1 a 1 a 2 ( ∂ ( a 2 F 2 ) ∂ u 1 − ∂ ( a 1 F 1 ) ∂ u 2 ) {\displaystyle (\operatorname {curl} {\boldsymbol {F}})_{3}={\frac {1}{a_{1}a_{2}}}\left({\frac {\partial (a_{2}F_{2})}{\partial u_{1}}}-{\frac {\partial (a_{1}F_{1})}{\partial u_{2}}}\right)}
が成り立つ。ここで、(x1, x2, x3) がデカルト座標系で (u1, u2, u3) が直交座標系ならば、 a i = ∑ j = 1 3 ( ∂ x j ∂ u i ) 2 {\displaystyle a_{i}={\sqrt {\sum _{j=1}^{3}\left({\frac {\partial x_{j}}{\partial u_{i}}}\right)^{2}}}}
は ui に対応する座標ベクトルの長さである。他の成分に関しても、添字の輪環の順で 3,1,2 → 1,2,3 → 2,3,1 と置き換えれば同様である。 実用に際しては、ほぼ全ての場合において適当な曲線座標系
直観的解釈を記述するもので、その流体の中に（中心が特定の点に固定された）小さなボールが浮かんでいると仮定する。ボールの表面がデコボコならば、そこを通過する流体によってボールは回転するはずである。その回転軸は（向きは右手系に従うものとして）ボールの中心から場の回転ベクトルの方向を指し、回転の角速度はその点における回転ベクトルの大きさの半分に等しい[4]。
用語法について
記法 ∇ × F は三次元交叉積との類推が元になっており、∇ をベクトル微分作用素のナブラと考えれば直交座標系における回転作用素の表示に対する記憶術として有効なものである。作用素に対する演算を施すような記法は物理学や代数学では広く用いられる。しかし、ある種の複雑な座標系、例えば（プラズマ物理学で一般的な）極トロイド座標系 (polar-toroidal coordinates) などを考えているときには、記法 ∇ × F を斯くの如き作用素同士の演算と解釈したのでは誤った結果を導くことになる。
直交座標系に関して ∇ × F を展開すれば、ベクトル場 F = (Fx, Fy, Fz) に対して、 ∇ × F = 。 i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F x F y F z 。
