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出典検索?: "四次方程式" ? ニュース ・ 書籍 ・ スカラー ・ CiNii ・ J-STAGE ・ NDL ・ dlib.jp ・ ジャパンサーチ ・ TWL（2015年7月）

四次方程式（よじほうていしき、quartic equation）とは、次数が 4 である代数方程式のことである。この項目では主に一変数の四次方程式を扱う。
概要

一変数の四次方程式はa4 x4 + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 = 0 (a4 ≠ 0)

の形で表現される。a4 で割りx4 + A3 x3 + A2 x2 + A1 x + A 0 = 0 ( A n = a n a 4 {\displaystyle A_{n}={\frac {a_{n}}{a_{4}}}} )

の形にしても解は変わらないのでこの形で論じられることが多い。

一般的な四次方程式の解法は、ジェロラモ・カルダーノの弟子であるルドヴィコ・フェラーリによって発見され、カルダノの著書『アルス・マグナ』で概要が述べられた。カルダノは x, x2, x3 をそれぞれ、線分の長さ、一辺の長さが x の正方形の面積、一辺の長さが x の立方体の体積と対応させてとらえ、4次以上の方程式には意味がないと考えていたため、三次方程式と違って詳細には述べられていない。

しかし、カルダノの死後、ルネ・デカルトは著書『方法序説』の試論の一つである『幾何学』において定規とコンパスによる作図を論じ、長さ x の線分、長さ y の線分、長さ 1 の線分から長さ x y の線分が得られることを示している。これによると、長さ x の線分と長さ 1 の線分から長さ xn（n は任意の自然数）の線分の作図が可能であることが分かるため 4 次以上の方程式を解くことにも幾何学的な意味を与えることは可能であり、カルダノの捉え方は不十分であったことが分かる。

その後、四次方程式は三次方程式と同様に様々な解法が発見され、五次方程式の代数的解法の探索と合わせて詳細な研究が進められた。
複二次式

四次方程式の内奇数次の項が無いa4 x4 + a2 x2 + a0 = 0 (a4 ≠ 0)

の形の式は x2 を変数とする二次方程式と見ることができ、複二次方程式 (biquadratic equation)、左辺は複二次式と呼ばれる。二次方程式の解法を知っていれば簡単に解くことができる。

y = x2 と変換することで y に関する二次方程式a4 y2 + a2 y + a0 = 0

を得ることができ、この二次方程式を解くことによって解を求められる。

また、実数を係数とする複二次式x4 + A2 x2 + A0

に対して、次のような二次式の積への因数分解もよく行われる。x2 の二次方程式とみたときの判別式D = A22 − 4A0

の符号によって

D > 0 であれば x2 について平方完成することにより x 4 + A 2 x 2 + A 0 = ( x 2 + A 2 2 ) 2 − A 2 2 − 4 A 0 4 {\displaystyle x^{4}+A_{2}x^{2}+A_{0}=\left(x^{2}+{A_{2} \over 2}\right)^{2}-{\frac {{A_{2}}^{2}-4A_{0}}{4}}}

D < 0 であれば A0 > 0 であることに注意して x 4 + A 2 x 2 + A 0 = ( x 2 + A 0 ) 2 − ( 2 A 0 − A 2 ) x 2 {\displaystyle x^{4}+A_{2}x^{2}+A_{0}=\left(x^{2}+{\sqrt {A_{0}}}\right)^{2}-\left(2{\sqrt {A_{0}}}-A_{2}\right)x^{2}}

と変形すれば、いずれの場合も因数分解の公式α2 − β2 = (α + β) (α − β)

を利用して実数を係数とする二次式の積に因数分解できる。
解の様子

四次方程式は、代数学の基本定理より、高々4個の複素数解を持つ。

四次方程式 ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 の判別式は Δ = 256 a 3 e 3 − 192 a 2 b d e 2 − 128 a 2 c 2 e 2 + 144 a 2 c d 2 e − 27 a 2 d 4   + 144 a b 2 c e 2 − 6 a b 2 d 2 e − 80 a b c 2 d e + 18 a b c d 3 + 16 a c 4 e   − 4 a c 3 d 2 − 27 b 4 e 2 + 18 b 3 c d e − 4 b 3 d 3 − 4 b 2 c 3 e + b 2 c 2 d 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta =\;&256a^{3}e^{3}-192a^{2}bde^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}+144a^{2}cd^{2}e-27a^{2}d^{4}\\&\ +144ab^{2}ce^{2}-6ab^{2}d^{2}e-80abc^{2}de+18abcd^{3}+16ac^{4}e\\&\ -4ac^{3}d^{2}-27b^{4}e^{2}+18b^{3}cde-4b^{3}d^{3}-4b^{2}c^{3}e+b^{2}c^{2}d^{2}\end{aligned}}}

によって与えられ、係数によって定まる以下の4個の定数によってさらに詳細な情報が得られる。 P = 8 a c − 3 b 2 R = b 3 + 8 a 2 d − 4 a b c Δ 0 = c 2 − 3 b d + 12 a e D = 64 a 3 e − 16 a 2 c 2 + 16 a b 2 c − 16 a 2 b d − 3 b 4 {\displaystyle {\begin{aligned}P&=8ac-3b^{2}\\R&=b^{3}+8a^{2}d-4abc\\\Delta _{0}&=c^{2}-3bd+12ae\\D&=64a^{3}e-16a^{2}c^{2}+16ab^{2}c-16a^{2}bd-3b^{4}\end{aligned}}}