四極子（しきょくし、英: quadrupole, quadrapole）または四重極とは、モーメントが等しい双極子が、2個逆向きに接近して並んでいるような単極子の分布をいう。単極子を正方形状に配置したものと、直線状に配置したものがあり、それぞれ横型、縦型と呼び分けられる。また、有限の大きさの電荷分布が作る場を多重極展開（英語版）したときにも現れる。
電荷の分布を電気四極子、磁荷の分布を磁気四極子という。電磁気学においては単に四極子といえば、電気四極子を指すことが多い。
電気四極子モーメントは2階の対称テンソルであり、以下のように定義される[1][2]: Q i j = ∫ d V ρ ( r ) r i r j {\displaystyle Q_{ij}=\int \mathrm {d} V~\rho ({\boldsymbol {r}})r_{i}r_{j}}
ここで、 ρ ( r ) {\displaystyle \rho ({\boldsymbol {r}})} は位置 r {\displaystyle {\boldsymbol {r}}} における電荷密度で、添字 i , j ∈ { x , y , z } {\displaystyle i,j\in \{x,y,z\}} である。直積を用いると Q = ∫ d V ρ ( r ) r ⊗ r {\displaystyle {\boldsymbol {Q}}=\int \mathrm {d} V~\rho ({\boldsymbol {r}}){\boldsymbol {r}}\otimes {\boldsymbol {r}}}
あるいはトレースなしのテンソルとして以下のように定義される[2]: Θ i j = 1 2 ∫ d V ρ ( r ) ( 3 r i r j − δ i j r 2 ) = 1 2 [ 3 Q i j − δ i j ( Q x x + Q y y + Q z z ) ] Θ = 1 2 ∫ d V ρ ( r ) ( 3 r ⊗ r − 1 r 2 ) = 1 2 ( 3 Q − 1 tr Q ) {\displaystyle {\begin{aligned}\Theta _{ij}&={\frac {1}{2}}\int \mathrm {d} V~\rho ({\boldsymbol {r}})(3r_{i}r_{j}-\delta _{ij}r^{2})={\frac {1}{2}}\left[3Q_{ij}-\delta _{ij}(Q_{xx}+Q_{yy}+Q_{zz})\right]\\{\boldsymbol {\Theta }}&={\frac {1}{2}}\int \mathrm {d} V\rho ({\boldsymbol {r}})(3{\boldsymbol {r}}\otimes {\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {1}}r^{2})={\frac {1}{2}}(3{\boldsymbol {Q}}-{\boldsymbol {1}}\operatorname {tr} {\boldsymbol {Q}})\end{aligned}}}
δ {\displaystyle \delta } はクロネッカーのデルタである。
電気四極子モーメントによる電位 ϕ {\displaystyle \phi } は ϕ = 1 4 π ϵ r ⊺ Θ r r 5 {\displaystyle \phi ={\frac {1}{4\pi \epsilon }}{\frac {{\boldsymbol {r}}^{\intercal }{\boldsymbol {\Theta }}{\boldsymbol {r}}}{r^{5}}}}
で与えられる。 ϵ {\displaystyle \epsilon } は 誘電率 である。
一般に四極子のポテンシャルφは単極子のそれφmonopole の空間についての2階微分で表される[3]。 ϕ ∝ ∂ 2 ∂ x ∂ y ϕ m o n o p o l e {\displaystyle \phi \propto {\frac {\partial ^{2}}{\partial x\partial y}}\phi _{\mathrm {monopole} }} （横型） ϕ ∝ ∂ 2 ∂ x 2 ϕ m o n o p o l e {\displaystyle \phi \propto {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\phi _{\mathrm {monopole} }} （縦型）
また、音響学においても用いられ[4]、音源の一種として扱われる。
参考文献^ 太田浩一『電磁気学の基礎I』シュプリンガー・ジャパン、2007年、71頁。.mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation.cs-ja1 q,.mw-parser-output .citation.cs-ja2 q{quotes:"「""」""『""』"}.mw-parser-output .citation:target{background-color:rgba(0,127,255,0.133)}.mw-parser-output .id-lock-free a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-subscription a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-subscription a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Lock-red-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/Wikisource-logo.svg")right 0.1em center/12px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:none;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;color:#d33}.mw-parser-output .cs1-visible-error{color:#d33}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:#3a3;margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}.mw-parser-output .cs1-kern-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right{padding-right:0.2em}.mw-parser-output .citation .mw-selflink{font-weight:inherit}ISBN 978-4-431-72739-2。
^ a b E Richard Cohen; Tom Cvitas; Jeremy G Frey et al., eds. (2007), Quantities, Units, and Symbols in Physical Chemistry (3rd ed.), RSC Publishing, doi:10.1039/9781847557889, ISBN 978-0-85404-433-7
^ 吉川茂; 藤田肇『基礎音響学』講談社サイエンティフィク、2002年、187頁。ISBN 4-06-153972-8。
^ Earl G. Williams 著、吉川茂、西條献児 訳『フーリエ音響学』シュプリンガー・フェアラーク東京、2005年、243頁。
『物理学辞典』 培風館、1984年
関連項目
単極子
双極子
多重極展開（英語版）
四重極磁石