四十五角形（よんじゅうごかくけい、よんじゅうごかっけい、tetracontapentagon）は、多角形の一つで、45本の辺と45個の頂点を持つ図形である。内角の和は7740°、対角線の本数は945本である。
正四十五角形

正四十五角形においては、中心角と外角は8°で、内角は172°となる。一辺の長さが a の正四十五角形の面積 S は S = 45 4 a 2 cot ⁡ π 45 ≃ 160.8825 a 2 {\displaystyle S={\frac {45}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{45}}\simeq 160.8825a^{2}}

cos ⁡ ( 2 π / 45 ) {\displaystyle \cos(2\pi /45)} を平方根と立方根で表すと、 cos ⁡ 2 π 45 = cos ⁡ ( π 9 − π 15 ) = cos ⁡ π 9 cos ⁡ π 15 + sin ⁡ π 9 sin ⁡ π 15 = 4 − 4 i 3 3 + 4 + 4 i 3 3 4 ⋅ 1 8 ( 6 ( 5 + 5 ) + 5 − 1 ) + i ( 4 − 4 i 3 3 − 4 + 4 i 3 3 ) 4 ⋅ 1 8 ( 2 ( 5 + 5 ) + 3 − 15 ) = 1 32 ( ( 4 − 4 i 3 3 + 4 + 4 i 3 3 ) ( 6 ( 5 + 5 ) + 5 − 1 ) + i ( 4 − 4 i 3 3 − 4 + 4 i 3 3 ) ( 2 ( 5 + 5 ) + 3 − 15 ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\frac {2\pi }{45}}=&\cos \left({\frac {\pi }{9}}-{\frac {\pi }{15}}\right)\\=&\cos {\frac {\pi }{9}}\cos {\frac {\pi }{15}}+\sin {\frac {\pi }{9}}\sin {\frac {\pi }{15}}\\=&{\frac {{\sqrt[{3}]{4-4i{\sqrt {3}}}}+{\sqrt[{3}]{4+4i{\sqrt {3}}}}}{4}}\cdot {\frac {1}{8}}\left({\sqrt {6\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}+{\sqrt {5}}-1\right)+{\frac {i\left({\sqrt[{3}]{4-4i{\sqrt {3}}}}-{\sqrt[{3}]{4+4i{\sqrt {3}}}}\right)}{4}}\cdot {\frac {1}{8}}\left({\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}\right)\\=&{\frac {1}{32}}\left(\left({{\sqrt[{3}]{4-4i{\sqrt {3}}}}+{\sqrt[{3}]{4+4i{\sqrt {3}}}}}\right)\left({\sqrt {6\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}+{\sqrt {5}}-1\right)+{i\left({\sqrt[{3}]{4-4i{\sqrt {3}}}}-{\sqrt[{3}]{4+4i{\sqrt {3}}}}\right)}\left({\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}\right)\right)\end{aligned}}}