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解析学
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話
編
歴
微分積分学における商の法則（しょうのほうそく、英: quotient rule）は二つの可微分函数の比（商）となっている函数の導函数の計算を述べるものである[1][2][3]。 具体的に g, h はともに可微分で h(x) ≠ 0 として f(x) = g(x)/h(x) と書けば、この商 f の微分は f ′ ( x ) = g ′ ( x ) h ( x ) − g ( x ) h ′ ( x ) [ h ( x ) ] 2 {\displaystyle f'(x)={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{[h(x)]^{2}}}} で与えられる。陰函数微分による証明 f(x) = g(x)/h(x) ならば g(x) = f(x)h(x) であるから、積の法則により g ′ ( x ) = f ′ ( x ) h ( x ) + f ( x ) h ′ ( x ) {\textstyle g'(x)=f'(x)h(x)+f(x)h'(x)} となり、f′ について解けば f ′ ( x ) = g ′ ( x ) − f ( x ) h ′ ( x ) h ( x ) = g ′ ( x ) − g ( x ) h ( x ) ⋅ h ′ ( x ) h ( x ) = g ′ ( x ) h ( x ) − g ( x ) h ′ ( x ) h ( x ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&={\frac {g'(x)-f(x)h'(x)}{h(x)}}\\&={\frac {g'(x)-{\frac {g(x)}{h(x)}}\cdot h'(x)}{h(x)}}\\&={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{h(x)^{2}}}\end{aligned}}} を得る。
目次
1 主張
2 例
3 高階版
4 関連項目
5 参考文献
主張