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数学において集合族の和集合(わしゅうごう)、あるいは合併集合(がっぺいしゅうごう)、合併(がっぺい、英語: union)、あるいは演算的に集合の和(わ、英語: sum)、もしくは結び(むすび、英語: join)とは、集合の集まり(集合族)に対して、それらの集合のいずれか少なくとも一つに含まれているような要素を全て集めることにより得られる集合のことである[注 1]。
定義和集合のベン図による視覚化
集合 A と集合 B が与えられたとき、集合 A ∪ B を、A, B いずれかの集合の少なくとも一方に含まれる元 x の全体 (x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A または x ∈ B) として定めて、あるいは同じことだが A ∪ B := { x ∣ x ∈ A or x ∈ B } {\displaystyle A\cup B:=\{x\mid x\in A{\mbox{ or }}x\in B\}}
として定義される集合を、集合 A, B の和集合と呼ぶ。また特に、A と B が交わりを持たないときの和集合 A ∪ B を A と B の(集合論的)直和(ちょくわ、 [set theoric] direct sum)あるいは非交和(ひこうわ、disjoint union)と呼び、"A ∪ B (disjoint)" や、明示的に記号を違えて A ⊔ B {\displaystyle A\sqcup B}
などと記すこともある。また、集合の族 M = { M λ } λ ∈ Λ {\displaystyle {\mathfrak {M}}=\{M_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }}
に対して、集合族に属するいずれかの集合に属する元 x ∈ M λ for some λ ∈ Λ {\displaystyle x\in M_{\lambda }{\mbox{ for some }}\lambda \in \Lambda }
の全体として集合族の和を ⋃ M ≡ ⋃ λ ∈ Λ M λ := { x 。 ∃ λ ∈ Λ : x ∈ M λ } {\displaystyle \bigcup {\mathfrak {M}}\equiv \bigcup _{\lambda \in \Lambda }M_{\lambda }:=\{x\ |\ {}^{\exists }\lambda \in \Lambda :x\in M_{\lambda }\}}
と定義する。有限個の元からなる集合族 A1, A2, ..., Ak の和集合は A 1 ∪ A 2 ∪ ⋯ ∪ A k , ⋃ n = 1 k A n {\displaystyle A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots \cup A_{k},\quad \bigcup _{n=1}^{k}A_{n}}
などとも表す。自然数などで添え字付けられた集合の和についても A 1 ∪ A 2 ∪ ⋯ , ⋃ n = 1 ∞ A n {\displaystyle A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots ,\quad \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}}
などのように表すことがある。また、集合族に属する集合からどの異なる二つを選んでもそれらが交わりを持たないとき、つまり M , N ∈ M , M ≠ N ⇒ M ∩ N = ∅ {\displaystyle M,N\in {\mathfrak {M}},\ M\neq N\Rightarrow M\cap N=\emptyset }
となるとき、その集合族の和集合は直和、あるいは非交和であるといい、 ∐ M , ⨆ M , ∑ M , ∑ ∪ M {\displaystyle \coprod {\mathfrak {M}},\quad \bigsqcup \,{\mathfrak {M}},\quad \sum {\mathfrak {M}},\quad \sum {}^{\cup }\,{\mathfrak {M}}}
などの記号を用いることがある。
例
P = {1, 3, 5, 7, 9} (10 以下の奇数の集合)、Q = {2, 3, 5, 7} (10 以下の素数の集合)とすると、P ∪ Q = {1, 2, 3, 5, 7, 9} である。
実数からなる半開区間の族 M = { (0, 1 − 1/n] 。n は 0 でない自然数 } とすると集合族 M の和集合は開区間 (0, 1) である:
⋃ M = ⋃ n = 1 ∞ ( 0 , 1 − 1 n ] = ( 0 , 1 ) . {\displaystyle \bigcup \mathbf {M} =\bigcup _{n=1}^{\infty }\left(0,\,1-{\frac {1}{n}}\right]=(0,1).} 実際、0 < x < 1 なる x に対して、x = 1 − ε となるような正の実数 ε が存在するが、ここで 1 / ε < n となる自然数 n は必ず存在して、この n に対して x は半開区間 (0, 1 − 1 / n] に属する。一方、1 ≤ x となる x は M のどの半開区間にも属さないので、和集合にも属さない。
実数の全区間(数直線)R = (−∞, ∞) は長さが 1 の半開区間の族 { (m, m + 1] 。m は整数 } の直和に分割できる。つまり
R = ∐ m = − ∞ ∞ ( m , m + 1 ] {\displaystyle \mathbb {R} =\coprod _{m=-\infty }^{\infty }(m,m+1]} が成り立つ。