この項目では、命題の同値性について説明しています。同値関係における同値については「同値関係」をご覧ください。
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同値(どうち)または等価(とうか)とは、2つの命題が共に真または共に偽のときに真となる論理演算である。英語ではequivalence (EQ)。「if and only if」を略して、iff ともいう。否定排他的論理和 (XNOR) に等しい。演算子記号は ⇔、↔、≡、=、EQ などが使われる。 命題 P命題 QP ⇔ Q 同値の基本的な性質は以下の通り。 他にも次のような性質がある。 二つの条件 p 、q に対して、「 p を満たすものは全て q も満たす 」 というとき、「 p は q である為の十分条件である 」 あるいは 「 q は p である為の必要条件である 」 という。 また、「 p は q である為の十分条件であり、q は p である為の十分条件である 」 というとき、「 p は q である為の必要十分条件である 」 あるいは 「 p と q とは同値である 」 という。 ある数が4の倍数である為には、その数は少なくとも偶数である必要がある。つまり、偶数であることは、4の倍数である為の必要条件である。ただし、偶数であっても、必ずしも4の倍数であるとは限らない。 また、ある数が4の倍数である為には、その数が8の倍数であれば十分である。つまり、8の倍数であることは、4の倍数である為の十分条件である。ただし、その数が8の倍数でなくとも、必ずしも4の倍数でないとは限らない。 他方、ある数が2の倍数である為には、その数は少なくとも偶数でなければならない。つまり、偶数であることは、2の倍数である為の必要条件である。また、その数が偶数であれば、その数は必ず2の倍数である。つまり、偶数であることは、2の倍数である為の十分条件である。すなわち、偶数であることは、2の倍数である為の必要十分条件であり、両者は同値である。 自然数変数 n についての条件 p(n), q(n) を次のように定める。 そのとき、p(n) は q(n) である為の必要十分条件である。すなわち、n > 10 は 2n > 20 である為の必要十分条件である。 実数変数 x についての条件 p(x), q(x) を次のように定める。 そのとき、p(x) は q(x) である為の十分条件である。しかし、?1 は q(x) を満たすが p(x) を満たさないので、 「q(x) を満たす実数は全て p(x) を満たす」 とはいえない。よって、q(x) は p(x) である為の十分条件ではない。従って、p(x) は q(x) である為の必要十分条件ではない。 ¬、⇔ を論理演算とし、命題変数 A 、B についての条件 p(A, B), q(A, B) を次のように定める。 ( ¬ は集合 { 真、偽 } から集合 { 真、偽 } への 1 つの写像である。⇔ は { 真、偽 }×{ 真、偽 } から { 真、偽 } への 1 つの写像である。A 、B は { 真、偽 } の元の変数である。) そのとき、p(A, B) は q(A, B) である為の必要十分条件である。すなわち、「¬( A ⇔B ) = 真」 は 「( ¬A )⇔B = 真」 である為の必要十分条件である。
真理値表
真真真
真偽偽
偽真偽
偽偽真
性質
基本的な性質
( ⇒ {\displaystyle \Rightarrow } は論理包含(ならば)、 ∧ {\displaystyle \land } は論理積(かつ))
反射律: p ⇔ p {\displaystyle p\Leftrightarrow p}
対称律: ( p ⇔ q ) ⇒ ( q ⇔ p ) {\displaystyle (p\Leftrightarrow q)\Rightarrow (q\Leftrightarrow p)}
推移律: [ ( p ⇔ q ) ∧ ( q ⇔ r ) ] ⇒ ( p ⇔ r ) {\displaystyle [(p\Leftrightarrow q)\land (q\Leftrightarrow r)]\Rightarrow (p\Leftrightarrow r)}
その他
( ¬ {\displaystyle \lnot } は否定、 ⊻ {\displaystyle \veebar } は排他的論理和)
反対称律: [ ( p ⇒ q ) ∧ ( q ⇒ p ) ] ⇒ ( p ⇔ q ) {\displaystyle [(p\Rightarrow q)\land (q\Rightarrow p)]\Rightarrow (p\Leftrightarrow q)}
( p ⇔ q ) ⇔ ¬ ( p ⊻ q ) {\displaystyle (p\Leftrightarrow q)\Leftrightarrow \lnot (p\veebar q)}
必要十分条件」の項目をご覧ください。
例 1
例 2
p(n): n > 10
q(n): 2n > 20
例 3
p(x): x > 0
q(x): x2 > 0
例 4
p(A, B): ¬( A ⇔B ) = 真
q(A, B): ( ¬A )⇔B = 真
関連項目
数理論理学
命題
同一性
脚注
外部リンク
Necessary and Sufficient Conditions (英語) - スタンフォード哲学百科事典「必要条件と十分条件」の項目。
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Weisstein, Eric W. "Iff". mathworld.wolfram.com (英語).
表
話
編
歴
論理演算
恒真式 ( ⊤ {\displaystyle \top } )
NAND ( ↑ {\displaystyle \uparrow } )
逆含意 ( ← {\displaystyle \leftarrow } )
IMP ( → {\displaystyle \rightarrow } )
OR ( ∨ {\displaystyle \lor } )
否定 ( ¬ {\displaystyle \neg } )
XOR ( ⊕ {\displaystyle \oplus } )
同値 ( ↔ {\displaystyle \leftrightarrow } )
命題
NOR ( ↓ {\displaystyle \downarrow } )
非含意 ( ↛ {\displaystyle \nrightarrow } )
逆非含意 ( ↚ {\displaystyle \nleftarrow } )
AND ( ∧ {\displaystyle \land } )
矛盾 ( ⊥ {\displaystyle \bot } )
表
話
∧ or & 論理積
AND∨ 論理和
OR¬ or ~ 否定
NOT→ 含意
implies⊃ 上位集合
superset≡ 同値
iff| 否定論理積
NAND∀ 全称量化
for all∃ 存在量化