「連続的微分可能性」はこの項目へ転送されています。詳細については「滑らかな関数」をご覧ください。
.mw-parser-output .ambox{border:1px solid #a2a9b1;border-left:10px solid #36c;background-color:#fbfbfb;box-sizing:border-box}.mw-parser-output .ambox+link+.ambox,.mw-parser-output .ambox+link+style+.ambox,.mw-parser-output .ambox+link+link+.ambox,.mw-parser-output .ambox+.mw-empty-elt+link+.ambox,.mw-parser-output .ambox+.mw-empty-elt+link+style+.ambox,.mw-parser-output .ambox+.mw-empty-elt+link+link+.ambox{margin-top:-1px}html body.mediawiki .mw-parser-output .ambox.mbox-small-left{margin:4px 1em 4px 0;overflow:hidden;width:238px;border-collapse:collapse;font-size:88%;line-height:1.25em}.mw-parser-output .ambox-speedy{border-left:10px solid #b32424;background-color:#fee7e6}.mw-parser-output .ambox-delete{border-left:10px solid #b32424}.mw-parser-output .ambox-content{border-left:10px solid #f28500}.mw-parser-output .ambox-style{border-left:10px solid #fc3}.mw-parser-output .ambox-move{border-left:10px solid #9932cc}.mw-parser-output .ambox-protection{border-left:10px solid #a2a9b1}.mw-parser-output .ambox .mbox-text{border:none;padding:0.25em 0.5em;width:100%;font-size:90%}.mw-parser-output .ambox .mbox-image{border:none;padding:2px 0 2px 0.5em;text-align:center}.mw-parser-output .ambox .mbox-imageright{border:none;padding:2px 0.5em 2px 0;text-align:center}.mw-parser-output .ambox .mbox-empty-cell{border:none;padding:0;width:1px}.mw-parser-output .ambox .mbox-image-div{width:52px}html.client-js body.skin-minerva .mw-parser-output .mbox-text-span{margin-left:23px!important}@media(min-width:720px){.mw-parser-output .ambox{margin:0 10%}}
この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方）
出典検索?: "微分可能関数"
数学の一分野である微分積分学において、可微分函数あるいは微分可能関数（びぶんかのうかんすう、英: differentiable function）とは、その定義域内の各点において導関数が存在するような関数のことを言う。微分可能関数のグラフには、その定義域の各点において非垂直な接線が存在しなければならない。その結果として、微分可能関数のグラフは比較的なめらかなものとなり、途切れたり折れ曲がったりせず、尖点（カスプ）や、垂直接線を伴う点などは含まれない。
より一般に、ある関数 f の定義域内のある点 x0 に対し、導関数 f′(x0) が存在するとき、f は x0 において微分可能であるといわれる。そのような関数 f はまた、点 x0 の近くでは線型関数によってよく近似されるため、x0 において局所線型（locally linear）とも呼ばれる。
微分可能性と連続性ワイエルシュトラス関数は連続であるが、どの点においても微分可能ではない
f が点 x0 において微分可能であるなら、f はその点 x0 において連続である。特に、微分可能関数はどのようなものでも、その定義域内のすべての点において連続である。しかしその逆は成立しない：すなわち、連続関数は必ずしも微分可能ではない。例えば、折れ（bend）や尖点、あるいは垂直接線を伴う関数は連続であることもあり得るが、それら例外的な箇所においては微分可能性は失われている。
現実に現れる多くの関数は、すべての点あるいはほとんどすべての点において導関数を持つものである。しかし、バナッハによる一つの結果として、ある点において導関数を持つ関数の集合は、すべての連続関数からなる空間におけるやせた集合（英語版）であることが示されている[1]。くだけた言い方をすると、このことはつまり、微分可能関数は連続関数の中でも珍しいものであることを意味している。至る所で連続であるが、どこにおいても微分可能ではない関数の最もよく知られた例は、ワイエルシュトラス関数である。
微分可能性のクラス詳細は「滑らかな関数」を参照
関数 f は、それ自体連続であるような導関数 f′(x) が存在するなら、連続的微分可能（continuously differentiable）であると言われる。微分可能関数の導関数が跳躍不連続点を持つことは無いが、真性不連続点を持つことはある。例えば、関数 f ( x ) = { x 2 sin ( 1 / x ) if x ≠ 0 0 if x = 0 {\displaystyle f(x)\;=\;{\begin{cases}x^{2}\sin(1/x)&{\text{if }}x\neq 0\\0&{\text{if }}x=0\end{cases}}}
は点 0 において微分可能である。なぜならば、 f ′ ( 0 ) = lim Δ → 0 ( Δ 2 sin ( 1 / Δ ) − 0 Δ ) = 0 {\displaystyle f'(0)=\lim _{\Delta \to 0}\left({\frac {\Delta ^{2}\sin(1/\Delta )-0}{\Delta }}\right)=0}
が存在するからである。しかし、x≠0 に対して、 f ′ ( x ) = 2 x sin ( 1 / x ) − cos ( 1 / x ) {\displaystyle f'(x)=2x\sin(1/x)-\cos(1/x)}
であるが、これは x → 0 に対する極限を持たない（したがってこの関数 f は原点を含む区間において微分可能ではあるが連続的微分可能ではない）。それにもかかわらず、ダルブーの定理（英語版）によれば、任意の関数の導関数に対して中間値の定理は成立する。
しばしば連続的微分可能関数は、C1-級であると言われる。関数に一階および二階の導関数が存在し、それらが両方とも連続であるとき、その関数は C2-級にであると言われる。
