この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方）
出典検索?: "反対称関係"
反対称関係（はんたいしょうかんけい、英: antisymmetric relation）とは、集合 X に関する二項関係 R であって、次の条件を満たすものをいう。 ∀ x , y ∈ X ( x R y ∧ y R x ⇒ x = y ) {\displaystyle \forall x,y\in X\ (xRy\land yRx\;\Rightarrow \;x=y)}
すなわち、X の任意の元 x と y に対して「x から y への関係、および y から x への関係がともに成り立つならば、x = y である」ような関係のことである。この条件を反対称律（英: antisymmetric law）という。
また、反対称律は次の条件と同値である。 ∀ x , y ∈ X ( x R y ∧ x ≠ y ⇒ ¬ y R x ) {\displaystyle \forall x,y\in X\ (xRy\land x\neq y\Rightarrow \lnot yRx)}
すなわち、反対称関係とは「x からy への関係が成り立ち、かつ x と y が等しくないならば、y から x への関係は成り立たない」ような関係であると定義してもよい。
反対称律に加え、反射律および推移律が成り立つ二項関係を、順序関係という。したがって、一般に順序関係は反対称関係である。例えば、実数における大小関係 (≦) や集合における包含関係 (⊆) は順序関係であるから、反対称関係でもある。順序関係でなく、反対称関係である関係の例としては、等号なしの大小関係 (＜) が挙げられる。
反対称関係は対称関係の論理的否定ではない。対称関係でも反対称関係でもある関係（等号＝など）もあり、また対称関係でも反対称関係でもない関係もある。対称関係でないものは非対称関係と呼ばれる。なお、ある変換により符号が反転する性質を反対称性というが、この概念とも直接の関係はない。
参考文献
Lipschutz, Seymour; Lipson, Marc (2007), Schaum's outline of theory and problems of discrete mathematics, Schaum's outline series (3rd ed.), New York: McGraw-Hill, .mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation.cs-ja1 q,.mw-parser-output .citation.cs-ja2 q{quotes:"「""」""『""』"}.mw-parser-output .citation:target{background-color:rgba(0,127,255,0.133)}.mw-parser-output .id-lock-free a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-subscription a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-subscription a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Lock-red-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/Wikisource-logo.svg")right 0.1em center/12px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:none;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;color:#d33}.mw-parser-output .cs1-visible-error{color:#d33}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:#3a3;margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}.mw-parser-output .cs1-kern-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right{padding-right:0.2em}.mw-parser-output .citation .mw-selflink{font-weight:inherit}ISBN 978-0-07-151101-8, https://books.google.com/books?id=9KtFcFa81FcC&pg=PA29
Lipschutz, Seymour『離散数学 コンピュータサイエンスの基礎数学』成嶋弘 監訳、オーム社〈マグロウヒル大学演習〉、1995年3月24日。ISBN 978-4-274-13005-2。
関連項目
対称関係
対称性
二項関係
反対称性
非対称関係
外部リンク
『反対称律』 - コトバンク
Weisstein, Eric W. "Antisymmetric Relation". mathworld.wolfram.com (英語).