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双曲線
双曲線（そうきょくせん、英: hyperbola）とは、2次元ユークリッド空間 ?2 上で定義され、ある2点 F, F' からの距離の「差が一定」であるような曲線の総称である。
この2点 F, F' は焦点と呼ばれる。2点 F, F' を通る直線と2点 F, F' の垂直二等分線は主軸と呼ばれる。 双曲線の標準形標準形 x 2 a 2 − y 2 b 2 = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1} x 2 a 2 − y 2 b 2 = − 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=-1} 双曲線は、主軸を座標軸とする直角座標系において、次の方程式により表すことができる。 x 2 a 2 − y 2 b 2 = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1} (*) この場合、焦点の座標は F ( − a 2 + b 2 , 0 ) , F ′ ( + a 2 + b 2 , 0 ) {\displaystyle F(-{\sqrt {a^{2}+b^{2}}},0)\ ,\ F'(+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}},0)} と書ける。このとき、2焦点 F, F' から双曲線上の点 P への距離の差 |PF ? PF'。は 2a となる。原点を双曲線の中心といい、2点(±a, 0) を双曲線の頂点という。 双曲線上の点 P と焦点 F との距離 PF と点 P から準線 x = a 2 a 2 + b 2 {\displaystyle x={\tfrac {a^{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}} までの距離の比は一定であり、比の値は離心率 e = a 2 + b 2 a {\displaystyle e={\tfrac {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}{a}}} に等しい。 また、双曲線には2つの漸近線が存在しており、漸近線の方程式は x a + y b = 0 , x a − y b = 0 {\displaystyle {\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}=0\ ,\ {\frac {x}{a}}-{\frac {y}{b}}=0} である。 特に、漸近線が直交している、すなわち a = b であるとき、この双曲線を特に直角双曲線という。 反比例のグラフ xy = C も双曲線の一種である。これは、直角双曲線：x2 ? y2 = 2C を原点の回りに 45° = π/4 だけ回転させた双曲線に等しい。 双曲線は、双曲線関数を用いて媒介変数表示することができる。 { x = ± a cosh t y = b sinh t {\displaystyle {\begin{cases}x=\pm a\cosh t\\y=b\sinh t\end{cases}}} また双曲線から左側の頂点 (?a, 0) を除けば有理関数を用いて媒介変数表示することもできる。 { x = a 1 + t 2 1 − t 2 y = b 2 t 1 − t 2 {\displaystyle {\begin{cases}x=a{\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}}\\y=b{\frac {2t}{1-t^{2}}}\end{cases}}}
双曲線の方程式
漸近線 x a ± y b = 0 {\displaystyle {\frac {x}{a}}\pm {\frac {y}{b}}=0} x a ± y b = 0 {\displaystyle {\frac {x}{a}}\pm {\frac {y}{b}}=0}
焦点 ( ± a 2 + b 2 , 0 ) {\displaystyle (\pm {\sqrt {a^{2}+b^{2}}},0)} ( 0 , ± a 2 + b 2 ) {\displaystyle (0,\pm {\sqrt {a^{2}+b^{2}}})}
頂点 ( ± a , 0 ) {\displaystyle (\pm {a},0)} ( 0 , ± b ) {\displaystyle (0,\pm {b})}
準線 x = ± a 2 a 2 + b 2 {\displaystyle x=\pm {\frac {a^{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}} y = ± b 2 a 2 + b 2 {\displaystyle y=\pm {\frac {b^{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}
離心率 e = a 2 + b 2 a {\displaystyle e={\frac {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}{a}}} e = a 2 + b 2 b {\displaystyle e={\frac {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}{b}}}
