危険関数（きけんかんすう、英: risk function）またはリスク関数は、決定理論および推定理論（英語版）において、損失関数（英語版）Lの期待値であり、決定則（英語版）δの危険関数をRとすると、以下のように定義される。 R ( θ , δ ) = E θ L ( θ , δ ( X ) ) = ∫ X L ( θ , δ ( X ) ) d P θ ( X ) {\displaystyle R(\theta ,\delta )={\mathbb {E} }_{\theta }L{\big (}\theta ,\delta (X){\big )}=\int _{\mathcal {X}}L{\big (}\theta ,\delta (X){\big )}\,dP_{\theta }(X)}

ここで、

θ {\displaystyle \theta } は固定値であるが、状態（state of nature）がことによると不明である。

Xは確率論的に母集団から抽出された観測値のベクトルである。

E θ {\displaystyle E_{\theta }} は、全ての母集団Xの値の期待値である。

d P θ {\displaystyle dP_{\theta }} は、θによってパラメータが決定するXの事象空間を通した確率測度であり、積分はXの全体の支持の上に評価される。

例

スカラーのパラメータ θ {\displaystyle \theta } について、 θ ^ {\displaystyle {\hat {\theta }}} をアウトプットする決定関数は、 θ {\displaystyle \theta } の推定であり、二次の損失関数は次のようになる。
L ( θ , θ ^ ) = ( θ − θ ^ ) 2 {\displaystyle L(\theta ,{\hat {\theta }})=(\theta -{\hat {\theta }})^{2}} その危険関数は、推定の平均二乗誤差（英語版）となる。 R ( θ , θ ^ ) = E θ ( θ − θ ^ ) 2 . {\displaystyle R(\theta ,{\hat {\theta }})=E_{\theta }(\theta -{\hat {\theta }})^{2}.}

密度推定（英語版）において、未知のパラメータは確率密度（probability density）そのものである。その損失関数は、典型的に適切な関数空間における規範に選ばれる。例えば L 2 {\displaystyle L^{2}} の規範は、次のようになる。
L ( f , f ^ ) = ‖ f − f ^ ‖ 2 2 {\displaystyle L(f,{\hat {f}})=\|f-{\hat {f}}\|_{2}^{2}\,} その危険関数は平均積分二乗誤差（英語版）となる。 R ( f , f ^ ) = E ‖ f − f ^ ‖ 2 . {\displaystyle R(f,{\hat {f}})=E\|f-{\hat {f}}\|^{2}.\,}
参考文献

Nikulin, M.S. (2001), "Risk of a statistical procedure", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 CS1 maint: Date and year

Berger, James O. (1985). Statistical decision theory and Bayesian Analysis (2nd ed.). New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96098-8. MR  ⇒0804611. 

DeGroot, Morris (2004) [1970]. Optimal Statistical Decisions. Wiley Classics Library. ISBN 0-471-68029-X. MR  ⇒2288194. 

Robert, Christian (2007). The Bayesian Choice (2nd ed.). New York: Springer. doi:10.1007/0-387-71599-1. ISBN 0-387-95231-4. MR  ⇒1835885. 

関連項目

ヒストグラム

カーネル密度推定

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更新日時:2013年4月15日(月)18:02
取得日時:2018/10/15 14:03