単連結空間 - 暇つぶしWikipedia

単連結空間

上図の穴あき平面は連結であるが、穴のまわりを1周するループを考えればわかるように単連結ではない。穴を全てふさげば単連結となる。

位相幾何学における単連結空間（たんれんけつくうかん、英: simply connected space）とは、任意のループを連続的に1点に収縮できるような弧状連結空間のことである。
定義

ある弧状連結空間の基本群が、単位元のみを要素として持つ自明な群であるとき、その空間を単連結であるという。基本群の場合は基点に留まり続ける定値道を代表元とするループのホモトピー型が単位元になる。つまり、その空間上において（あたえられた基点に対する）任意のループが常にホモトピックな連続変形によって1点（基点）に収縮できれば単連結ということになる。弧状連結という仮定から、任意のループが1点に収縮できるかどうかは基点の取り方に依存しないで定まる。
例赤色の線がメリディアン、桃色の線がロンジチュード

線分・円板・球体やn次元ユークリッド空間、2次元以上の球面などは単連結である。他方、トーラスやアニュラス、メビウスの帯、円周、結び目の補空間などは単連結ではない。

例えばトーラスの場合、1点に収縮できるようなループも存在するが、右図のようにメリディアンやロンジチュードといった閉曲線上を1周するループをとるとこれは1点に収縮できなくなる。実際、トーラスの基本群は π 1 ( T ) = ⟨ a , b ∣ a b a − 1 b − 1 = 1 ⟩ ≅ π 1 ( S 1 ) × π 1 ( S 1 ) {\displaystyle \pi _{1}(T)=\langle \,a,b\mid aba^{-1}b^{-1}=1\,\rangle \cong \pi _{1}(S^{1})\times \pi _{1}(S^{1})}

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瀬山士郎『トポロジー―ループと折れ線の幾何学』朝倉書店、1989年、91-94頁。ISBN 978-4254114652。

小林一章『曲面と結び目のトポロジー―基本群とホモロジー群』朝倉書店、1992年、22-23頁。ISBN 978-4254114713。

クゼ・コスニオフスキ著、加藤十吉訳編『トポロジー入門』東京大学出版会、1983年、140-142頁。

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