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出典検索?: "単体" 数学 ? ニュース ・ 書籍 ・ スカラー ・ CiNii ・ J-STAGE ・ NDL ・ dlib.jp ・ ジャパンサーチ ・ TWL（2023年10月）
3次元空間で表現できる4種類の単体

数学、とくに位相幾何学において、n 次元の単体（たんたい、英: simplex）とは、「r ≤ n ならばどの r + 1 個の点も r − 1 次元の超平面に同時に含まれることのない」ような n + 1 個の点からなる集合の凸包のことで、点・線分・三角形・四面体・五胞体といった基本的な図形の n 次元への一般化である。

全ての辺の長さが等しい時、正単体と言う。

単体は、頂点の位置さえ決めればそれのみによって一意的に決定される。さらに単体は単体的複体や鎖複体などの概念を与えるが、これらはさらに抽象化されて、幾何学を組合せ論的あるいは代数的に扱う道具となる。また逆に、抽象化された複体の概念から単体が定義される。
素朴な定義

r + 1個の点（の位置ベクトル）a0, a1, …, ar があり、これらすべての点が Rn の r − 1次元以下の部分空間に含まれることはない（これを一般の位置にあるという）ものとする。このとき、 { ∑ i = 0 r λ i a i ∈ R n ∣ λ i ∈ R ,   ∑ i = 0 r λ i = 1 ,   λ 0 , ⋯ , λ r ≥ 0 } {\displaystyle \left\{\textstyle \sum \limits _{i=0}^{r}\lambda _{i}{\boldsymbol {a}}_{i}\in \mathbb {R} ^{n}\mid \lambda _{i}\in \mathbb {R} ,\ \sum \limits _{i=0}^{r}\lambda _{i}=1,\ \lambda _{0},\cdots ,\lambda _{r}\geq 0\right\}}

を、a0, a1, …, ar によって生成される（あるいは張られる）r次元単体 (r-dimentional simplex) あるいは単に r単体 (r-simplex) という。また、a0, a1, …, ar をこの単体の頂点 (vertex) といい、V = {a0, a1, …, ar} を頂点集合と呼ぶ。

また、a0, a1, …, ar がアフィン独立 (affinely independent)、すなわち a1 − a0, …, ar − a0 が線形独立であって、この a0, a1, …, ar が張る凸包というように言い換えることもできる。

二つの単体が頂点を共有し、一方が他方に含まれるとき、含まれる単体を他方の単体の面 (face) であるという。特に、m次元単体であるような面を m次元の面 (m-face) という。たとえば、頂点は 0 次元面である。また特に 1 次元面を辺と呼び、余次元 1 の面をファセット（facet、切子面）と呼ぶ（ここで「余次元」というのは、含む単体の次元とその面の次元との差のことである）。
例

0 次元単体は点。

1 次元単体は線分。

2 次元単体は三角形。

3 次元単体は四面体。

4 次元単体は五胞体。

体積

単体は空間上にある基準点 O を取ったとき、O からの位置ベクトルが互いに一次独立である n + 1個の点 P1, …, Pn+1 を頂点にもつ多面体である。このとき、 OP i → = ( x 1 , i , ⋯ , x n , i ) {\displaystyle {\overrightarrow {{\text{OP}}_{i}}}=(x_{1,i},\cdots ,x_{n,i})} とすれば、超体積（n = 3 であれば体積、n = 2 であれば面積、n = 1 であれば長さ）V は、 V = 1 n ! abs ⁡ 。 x 1 , 1 x 1 , 2 ⋯ x 1 , n + 1 ⋯ ⋯ x n , 1 x n , 2 ⋯ x n , n + 1 1 1 1 1 。