この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。
出典検索?: "単位球面" ? ニュース ・ 書籍 ・ スカラー ・ CiNii ・ J-STAGE ・ NDL ・ dlib.jp ・ ジャパンサーチ ・ TWL（2017年5月）
様々な単位球面

単位球面（たんいきゅうめん、英: unit sphere）とは、中心点からの距離が1の点の集合である。なお、ここでの距離とは一般的な距離の概念である。一方、単位球（たんいきゅう、英: unit ball）は、中心点からの距離が1以下の点の集合（閉単位球 (closed unit ball)）、あるいは1未満の点の集合（開単位球 (open unit ball)）である。通常、特に断らない限り、対象とする空間の原点を中心点とする。したがって英語で何の前置きもなく "the" をつけて書かれている場合は、原点を中心点とする単位球面や単位球を指す。

単純に言い換えれば、単位球面は半径が1の球面であり、単位球は半径が1の球である。任意の球面は平行移動と拡大・縮小によって単位球面に変換でき、この点が重要である。したがって、球面の研究は一般に単位球面を研究することに還元できる。目次

1 ユークリッド空間での単位球

1.1 面積と体積の一般的な式

1.1.1 再帰

1.1.2 フラクタル次元

1.1.3 他の半径



2 ノルム線型空間における単位球

3 一般化

3.1 距離空間

3.2 二次形式


4 関連項目

5 外部リンク

ユークリッド空間での単位球

n次元のユークリッド空間では、単位球面を ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})} という点の集合としたとき、次の式が成り立つ。 x 1 2 + x 2 2 + ⋯ + x n 2 = 1 {\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=1}

そして、閉単位球の全ての点の集合については、次の不等式が成り立つ。 x 1 2 + x 2 2 + ⋯ + x n 2 ≤ 1 {\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\leq 1}
面積と体積の一般的な式

最初に、単位球面の古典的な式が半径1でx軸、y軸、z軸で違いがない楕円面の式となることは重要である。 f ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 = 1 {\displaystyle f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}

n次元ユークリッド空間の単位球の体積と単位球面の面積は、解析学の様々な重要な方程式に出てくる。n 次元の単位球体の体積 Vn はガンマ関数を用いて書くことができる。 V n = π n / 2 Γ ( 1 + n / 2 ) = { π n / 2 / ( n / 2 ) ! if n ≥ 0 is even,   π ⌊ n / 2 ⌋ 2 ⌈ n / 2 ⌉ / n ! ! if n ≥ 0 is odd, {\displaystyle V_{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma (1+n/2)}}={\begin{cases}{\pi ^{n/2}}/{(n/2)!}&{\text{if}}\;\;n\geq 0\;\;{\text{is even,}}\\~\\{\pi ^{\lfloor n/2\rfloor }2^{\lceil n/2\rceil }}/{n!!}&{\text{if}}\;\;n\geq 0\;\;{\text{is odd,}}\end{cases}}}

ここで n!! は二重階乗であり、 ⌊ ⋅ ⌋ , ⌈ ⋅ ⌉ {\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor ,\lceil \cdot \rceil } は床関数と天井関数である。

(n−1) 次元単位球面の超体積（すなわち n 次元単位球体の表面積）An は次のように表せる A n = n V n = n π n / 2 Γ ( 1 + n / 2 ) = 2 π n / 2 Γ ( n / 2 ) , {\displaystyle A_{n}=nV_{n}={\frac {n\pi ^{n/2}}{\Gamma (1+n/2)}}={\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma (n/2)}}\,,}

ただし最後の等号は n > 0 に対してのみ成り立つ。

いくつかの n {\displaystyle n} に対応した表面積と体積は次のようになる。

n {\displaystyle n} A n {\displaystyle A_{n}} （表面積） V n {\displaystyle V_{n}} （体積）
0 0 ( 1 / 0 ! ) π 0 {\displaystyle 0(1/0!)\pi ^{0}} 0 ( 1 / 0 ! ) π 0 {\displaystyle (1/0!)\pi ^{0}} 1
1 1 ( 2 1 / 1 ! ! ) π 0 {\displaystyle 1(2^{1}/1!!)\pi ^{0}} 2 ( 2 1 / 1 ! ! ) π 0 {\displaystyle (2^{1}/1!!)\pi ^{0}} 2
2 2 ( 1 / 1 ! ) π 1 = 2 π {\displaystyle 2(1/1!)\pi ^{1}=2\pi } 6.283 ( 1 / 1 ! ) π 1 = π {\displaystyle (1/1!)\pi ^{1}=\pi } 3.141
3 3 ( 2 2 / 3 ! ! ) π 1 = 4 π {\displaystyle 3(2^{2}/3!!)\pi ^{1}=4\pi } 12.57 ( 2 2 / 3 ! ! ) π 1 = ( 4 / 3 ) π {\displaystyle (2^{2}/3!!)\pi ^{1}=(4/3)\pi } 4.189
4 4 ( 1 / 2 ! ) π 2 = 2 π 2 {\displaystyle 4(1/2!)\pi ^{2}=2\pi ^{2}} 19.74 ( 1 / 2 ! ) π 2 = ( 1 / 2 ) π 2 {\displaystyle (1/2!)\pi ^{2}=(1/2)\pi ^{2}} 4.935
5 5 ( 2 3 / 5 ! ! ) π 2 = ( 8 / 3 ) π 2 {\displaystyle 5(2^{3}/5!!)\pi ^{2}=(8/3)\pi ^{2}} 26.32 ( 2 3 / 5 ! ! ) π 2 = ( 8 / 15 ) π 2 {\displaystyle (2^{3}/5!!)\pi ^{2}=(8/15)\pi ^{2}} 5.264
6 6 ( 1 / 3 ! ) π 3 = π 3 {\displaystyle 6(1/3!)\pi ^{3}=\pi ^{3}} 31.01 ( 1 / 3 ! ) π 3 = ( 1 / 6 ) π 3 {\displaystyle (1/3!)\pi ^{3}=(1/6)\pi ^{3}} 5.168