単位根（たんいこん、英: unit root）とは、時間を通じて変化する確率過程が持つ、統計的推論に問題をもたらし得る側面の一つである。

もし線形な確率過程の特性方程式の根の一つが1であるならば、その確率過程は単位根を持つ。このような確率過程は非定常である。もしこの確率過程の特性方程式の他の根がすべて単位円の内側にあるならば、つまり絶対値が1以下ならば、この確率過程の1階差分は定常である。
定義

離散確率過程 { y t , t = 1 , … , ∞ } {\displaystyle \{y_{t},t=1,\ldots ,\infty \}} を考え、次のような p 次の自己回帰確率過程であると仮定する。 y t = a 1 y t − 1 + a 2 y t − 2 + ⋯ + a p y t − p + ε t . {\displaystyle y_{t}=a_{1}y_{t-1}+a_{2}y_{t-2}+\cdots +a_{p}y_{t-p}+\varepsilon _{t}.}

ここで、 { ε t , t = 0 , ∞ } {\displaystyle \{\varepsilon _{t},t=0,\infty \}} は自己相関がなく、平均が0で定数の分散 σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}} を持つとする。簡単化のために y 0 = 0 {\displaystyle y_{0}=0} とする。もし、特性方程式、 m p − m p − 1 a 1 − m p − 2 a 2 − ⋯ − a p = 0 {\displaystyle m^{p}-m^{p-1}a_{1}-m^{p-2}a_{2}-\cdots -a_{p}=0} 、

の根の一つが m = 1 {\displaystyle m=1} ならば、この確率過程は単位根を持つ、もしくは一次の和分（英語版）過程であると呼び、 I ( 1 ) {\displaystyle I(1)} と書く。もし、特定方程式の複数個（r 個）の根が m = 1 {\displaystyle m=1} ならば（解 m = 1 {\displaystyle m=1} の重複度が r ならば）、その確率過程は r 次の和分過程であり、 I ( r ) {\displaystyle I(r)} と書く。
例

一次の自己回帰モデル y t = a 1 y t − 1 + ε t {\displaystyle y_{t}=a_{1}y_{t-1}+\varepsilon _{t}} は、 a 1 = 1 {\displaystyle a_{1}=1} ならば、単位根を持つ。この例では、特性方程式は m − a 1 = 0 {\displaystyle m-a_{1}=0} となる。この方程式の根は m = 1 {\displaystyle m=1} である。

もしこの一次の自己回帰確率過程が単位根を持つならば非定常時系列である。つまりその確率過程のモーメントは時間 t {\displaystyle t} に依存する。単位根の効果を明らかにするために、 y0 = 0 からスタートした1次自己回帰の例を考えよう。 y t = y t − 1 + ε t . {\displaystyle y_{t}=y_{t-1}+\varepsilon _{t}.}

再帰的代入により、 y t = y 0 + ∑ j = 1 t ε j {\displaystyle y_{t}=y_{0}+\sum _{j=1}^{t}\varepsilon _{j}} と書ける。よって y t {\displaystyle y_{t}} の分散は以下のように与えられる。 Var ⁡ ( y t ) = ∑ j = 1 t σ 2 = t σ 2 . {\displaystyle \operatorname {Var} (y_{t})=\sum _{j=1}^{t}\sigma ^{2}=t\sigma ^{2}.}

Var ⁡ ( y 1 ) = σ 2 {\displaystyle \operatorname {Var} (y_{1})=\sigma ^{2}} である一方で Var ⁡ ( y 2 ) = 2 σ 2 {\displaystyle \operatorname {Var} (y_{2})=2\sigma ^{2}} なので、分散は t に依存する。

単位根の存在を確かめる検定は多数存在する。その内のいくつかを挙げると以下となる。
¶ 統計量、もしくはディッキー?フラー検定（DF検定）

根が1以上であるかの有意性検定（F検定）

フィリップス?ペロン検定（PP検定）

Dickey?Pantula 検定

関連モデル

AR（自己回帰）モデルとARMA（自己回帰移動平均）モデルに加え、残差それ自身が時系列構造を持ち、ゆえに上で議論したような単位根を持つARないしはARMAでモデル化される必要がある場合、線形回帰において重要な問題が起こる。単位根を含んだ1次のARMAモデルを回帰により推定した場合の誤差が持つ有限標本での性質も分析されている[1][2]。
単位根の存在が疑われる時の推定

最小二乗法(OLS)は自己回帰モデルの傾きを推定するためにしばしば用いられる。OLSの使用の妥当性は確率過程が定常であることに依存する。もし、確率過程が非定常ならば、OLSの使用は間違った推定をもたらし得る。クライヴ・グレンジャーとポール・ニューボールド（英語版）はそのような間違った推定を見せかけの回帰（英: spurious regression）と呼んだ[3]。