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4次元超立方体

超立方体（ちょうりっぽうたい、hypercube）とは、2次元の正方形、3次元の立方体、4次元の正八胞体を各次元に一般化した正多胞体である。なお、0次元超立方体は点、1次元超立方体は線分である。

正測体（せいそくたい）、γ体（ガンマたい）とも言い、n 次元超立方体を γ n {\displaystyle \gamma _{n}} と書く。

正単体、正軸体と並んで、5次元以上での3種類の正多胞体の1つである。

単に超立方体と言った場合は特に四次元の超立方体(tesseract)を指すこともある。

右図は、四次元超立方体を二次元に投影した図である。立方体を二次元に投影した場合と同様に、各辺の長さや成す角度は歪んでいるが、実際の辺の長さはすべて等しく、角も直角である。胞（立方体）の数は、投影図において外側の大きな立方体、内側の立方体、これら2つの対応する面をそれぞれ結ぶ（対応する稜線を4つ選ぶ）部分に6つあり、胞は計8つである。
作図

超立方体を作図するには、

( ± 1 , ± 1 , ⋯ , ± 1 ) {\displaystyle (\pm 1,\pm 1,\cdots ,\pm 1)}

を頂点とし、最も近い（距離2の）頂点同士を辺で結べばよい。複号は全ての組み合わせを取る。

こうして作図された超立方体は、n 次元ユークリッド空間を R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} で表して

{ x ∈ R n : ‖ x ‖ ∞ ≤ 1 } {\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{n}:\|x\|_{\infty }\leq 1\}}

でも定義できる。
性質

特にことわらない限り、辺の長さが a の n 次元超立方体について述べる。

超体積は

a n {\displaystyle a^{n}\,}

超表面積は

2 n a n − 1 {\displaystyle 2na^{n-1}\,}

である。

ファセット (n - 1 次元面) は n - 1 次元超立方体である。したがって一般に、m (0 ≤ m ≤ n - 1) 次元面は m 次元超立方体である。たとえば、正八胞体（4次元超立方体）の面（2次元面）は正方形（2次元超立方体）、胞（3次元面）は立方体（3次元超立方体）である。

対角線の長さは、

n a {\displaystyle {\sqrt {n}}a\,}

である。

m 次元面の個数は

2 n − m n C m {\displaystyle 2^{n-m}{}_{n}\operatorname {C} _{m}}

である。これはパスカルのピラミッド（英語版）の第 n + 1 段の三角形の第 m + 1 段（頂点を下にした場合）の数字の総和に等しい。対角線に沿って見た場合、次元面たちは数字通りのグループに分割される。これは、 3 n = ( 1 + 2 ) n {\displaystyle 3^{n}=(1+2)^{n}} を二項展開し、 3 n = ( 1 + 1 + 1 ) n {\displaystyle 3^{n}=(1+1+1)^{n}} を三項展開することで示すことができる。特に、頂点（0次元面）は 2 n {\displaystyle 2^{n}} 個、辺（1次元面）は 2 n − 1 n {\displaystyle 2^{n-1}n} 個、ファセットは 2 n {\displaystyle 2n} 個である。 n C m {\displaystyle {}_{n}\operatorname {C} _{m}} はパスカルの三角形の第 n + 1 段の m + 1 番目の数字であり、n - 1 次元単体の m - 1 次元面の個数である。

m (0 ≤ m ≤ n - 2) 次元面に集まるl (m + 1 ≤ l ≤ n - 1) 次元面の個数は

n − m C l − m {\displaystyle {}_{n-m}\operatorname {C} _{l-m}}

である。これはパスカルの三角形の第 n - m + 1 段の l - m + 1 番目の数字であり、n - m - 1 次元単体の l - m - 1 次元面の個数である。