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半値幅(はんちはば、half width)は、山形の関数の広がりの程度を表す指標。半値全幅 (はんちぜんはば、full width at half maximum, FWHM) と、その半分の値の半値半幅 (half width at half maximum, HWHM) とがある。単に半値幅と言うと半値全幅のことが多い。 関数 f(x) が、ある箇所の前後で山形の局所的応答を示しているとする。尚、f(x) が不連続な場合などは考えない。もし不連続なときは、近似的な連続関数を考える。 f(x) を、ベースライン関数 b(x) と局所的応答関数 g(x) の和f(x) = b(x) + g(x) で表す。山形の広がりの成分は g(x) に含まれ、十分大きい x と十分小さい x (あるいは、±∞ への極限)に対し g(x) = 0 となる。 なお、十分大きい x と十分小さい x に対し f(x) = 0 なら、b(x) = 0 とみなし、f(x) = g(x) とすることができる。実用上は、f(x) が上の条件を満たさなくてもこうすることがある。 g(x) の最大値を gmax = g(xmax) とすると、g(x) = gmax/2 を満たす x が2つ以上存在する(g(x) が単峰性 F W H M = 2 2 ln 2 σ ≈ 2.354820 σ {\displaystyle {\rm {FWHM}}=2{\sqrt {2\ln 2}}\;\sigma \approx 2.354820\;\sigma } である。 双曲線正割関数 sech x の半値幅は、 F W H M = 2 Sech − 1 1 2 = 2 ln ( 2 + 3 ) ≈ 2.633916 {\displaystyle {\rm {FWHM}}=2\;\operatorname {Sech} ^{-1}{\frac {1}{2}}=2\ln(2+{\sqrt {3}})\approx 2.633916} である。 幅 a の矩形関数の半値幅は、FWHM = aHWHM = a/2 である。なおこの場合、「半」値でなくても常にこの幅になるので、単に「全幅」「半幅」とも言う。 品質係数Qとの関係は、 ω 0 {\displaystyle \omega _{0}} を共振ピークでの共振周波数とすると F W H M = ω 0 Q {\displaystyle {\rm {FWHM}}={\frac {\omega _{0}}{Q}}} で表される。
定義
半値幅の例
H W H M = 2 ln 2 σ ≈ 1.177410 σ {\displaystyle {\rm {HWHM}}={\sqrt {2\ln 2}}\;\sigma \approx 1.177410\;\sigma }
H W H M = Sech − 1 1 2 = ln ( 2 + 3 ) ≈ 1.316958 {\displaystyle {\rm {HWHM}}=\operatorname {Sech} ^{-1}{\frac {1}{2}}=\ln(2+{\sqrt {3}})\approx 1.316958}
関連項目
指向性
見かけの等級
ファン・デームテルの式