十分条件 - 暇つぶしWikipedia

十分条件

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この項目では、命題の同値性について説明しています。同値関係における同値については「同値関係」をご覧ください。

「iff」はこの項目へ転送されています。その他のIFFについては「IFF」をご覧ください。

同値（どうち）または等価（とうか）とは、2つの命題が共に真または共に偽のときに真となる論理演算である。英語ではequivalence (EQ)。「if and only if」を略して、iff ともいう。否定排他的論理和 (XNOR) に等しい。演算子記号は ⇔、↔、≡、=、EQ などが使われる。
真理値表

命題 P命題 QP ⇔ Q
真真真
真偽偽
偽真偽
偽偽真

 性質
 基本的な性質

同値の基本的な性質は以下の通り。
（ ⇒ {\displaystyle \Rightarrow } は論理包含（ならば）、 ∧ {\displaystyle \land } は論理積（かつ））

反射律: p ⇔ p {\displaystyle p\Leftrightarrow p}

対称律: ( p ⇔ q ) ⇒ ( q ⇔ p ) {\displaystyle (p\Leftrightarrow q)\Rightarrow (q\Leftrightarrow p)}

推移律: [ ( p ⇔ q ) ∧ ( q ⇔ r ) ] ⇒ ( p ⇔ r ) {\displaystyle [(p\Leftrightarrow q)\land (q\Leftrightarrow r)]\Rightarrow (p\Leftrightarrow r)}

その他

他にも次のような性質がある。
（ ¬ {\displaystyle \lnot } は否定、 ⊻ {\displaystyle \veebar } は排他的論理和）

反対称律: [ ( p ⇒ q ) ∧ ( q ⇒ p ) ] ⇒ ( p ⇔ q ) {\displaystyle [(p\Rightarrow q)\land (q\Rightarrow p)]\Rightarrow (p\Leftrightarrow q)}

( p ⇔ q ) ⇔ ¬ ( p ⊻ q ) {\displaystyle (p\Leftrightarrow q)\Leftrightarrow \lnot (p\veebar q)}

必要十分条件

「必要」はこの項目へ転送されています。「必要」の語義については、ウィクショナリーの「必要」の項目をご覧ください。

「十分」はこの項目へ転送されています。「十分」の語義については、ウィクショナリーの「十分」の項目をご覧ください。

二つの条件 p 、q に対して、「 p を満たすものは全て q も満たす」というとき、「 p は q である為の十分条件である」あるいは「 q は p である為の必要条件である」という。

また、「 p は q である為の十分条件であり、q は p である為の十分条件である」というとき、「 p は q である為の必要十分条件である」あるいは「 p と q とは同値である」という。
例 1

ある数が４の倍数である為には、その数は少なくとも偶数である必要がある。つまり、偶数であることは、４の倍数である為の必要条件である。ただし、偶数であっても、必ずしも４の倍数であるとは限らない。

また、ある数が４の倍数である為には、その数が８の倍数であれば十分である。つまり、８の倍数であることは、４の倍数である為の十分条件である。ただし、その数が８の倍数でなくとも、必ずしも４の倍数でないとは限らない。

他方、ある数が２の倍数である為には、その数は少なくとも偶数でなければならない。つまり、偶数であることは、２の倍数である為の必要条件である。また、その数が偶数であれば、その数は必ず２の倍数である。つまり、偶数であることは、２の倍数である為の十分条件である。すなわち、偶数であることは、２の倍数である為の必要十分条件であり、両者は同値である。
例 2

自然数変数 n についての条件 p(n), q(n) を次のように定める。

p(n)： n > 10

q(n)： 2n > 20

そのとき、p(n) は q(n) である為の必要十分条件である。すなわち、n > 10 は 2n > 20 である為の必要十分条件である。
例 3

実数変数 x についての条件 p(x), q(x) を次のように定める。

p(x)： x > 0

q(x)： x2 > 0

そのとき、p(x) は q(x) である為の十分条件である。しかし、?1 は q(x) を満たすがｐ(x) を満たさないので、「q(x) を満たす実数は全て p(x) を満たす」とはいえない。よって、q(x) は p(x) である為の十分条件ではない。従って、p(x) は q(x) である為の必要十分条件ではない。
例 4

￢、⇔ を論理演算とし、命題変数 A 、B についての条件 p(A, B), q(A, B) を次のように定める。 ( ￢は集合 { 真、偽 } から集合 { 真、偽 } への 1 つの写像である。⇔ は { 真、偽 }×{ 真、偽 } から { 真、偽 } への 1 つの写像である。A 、B は { 真、偽 } の元の変数である。)

p(A, B)：￢( A ⇔B ) = 真

q(A, B)： ( ￢A )⇔B = 真