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正十八角形

十八角形（じゅうはちかくけい、じゅうはちかっけい、octadecagon、octakaidecagon）は、多角形の一つで、18本の辺と18個の頂点を持つ図形である。内角の和は2880°で、対角線の本数は135本である。
正十八角形

正十八角形においては、中心角と外角は20°で、内角は160°となる。一辺の長さが a の正十八角形の面積 S は S = 18 4 a 2 cot ⁡ π 18 ≃ 25.52 a 2 {\displaystyle S={\frac {18}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{18}}\simeq 25.52a^{2}}

で、外接円の半径 R は R = a 2 csc ⁡ π 18 ≃ 2.8794 a {\displaystyle R={\frac {a}{2}}\csc {\frac {\pi }{18}}\simeq 2.8794a}

で与えられる。

cos ⁡ ( 2 π / 18 ) {\displaystyle \cos(2\pi /18)} を平方根と立方根で表すと、 cos ⁡ 2 π 18 = cos ⁡ π 9 = 4 + 4 3 i 3 + 4 − 4 3 i 3 4 = 1 + 3 i 3 + 1 − 3 i 3 2 4 3 = 1 + 3 i 2 3 + 1 − 3 i 2 3 2 = − ω 2 3 + − ω 3 2 = 0.9396926... {\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{18}}=\cos {\frac {\pi }{9}}={\frac {{\sqrt[{3}]{4+4{\sqrt {3}}i}}+{\sqrt[{3}]{4-4{\sqrt {3}}i}}}{4}}={\frac {{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt {3}}i}}+{\sqrt[{3}]{1-{\sqrt {3}}i}}}{\sqrt[{3}]{2^{4}}}}={\frac {{\sqrt[{3}]{\frac {1+{\sqrt {3}}i}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {1-{\sqrt {3}}i}{2}}}}{2}}={\frac {{\sqrt[{3}]{-\omega ^{2}}}+{\sqrt[{3}]{-\omega }}}{2}}=0.9396926...}
正十八角形の作図

正十八角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。
脚注[脚注の使い方]
関連項目