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独自研究が含まれているおそれがあります。（2020年2月）


あまり重要でない事項が過剰に含まれているおそれがあり、整理が求められています。（2020年2月）

十二進法（じゅうにしんほう）とは、12 を底（てい）とし、底およびその冪を基準にして数を表す方法である。時間の表記として世界中で一般的に使用されている。
十二進法が使われている例
計時

物流で主に使われる数量のダース、グロス

暦が12か月周期であることは諸説あるが、数え方は十二進数である。（太陰暦を参照）
記数法
整数3つ組が4つ集まると「10」になる。小数も、0.3×4 = 1 となる。
数字

十二進記数法とは、十二を底とする位取り記数法である。十二進法での位取りでは、通常は 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B の計十二個の数字を用い、十を A , 十一を B , 十二を 10 , 十三を 11 と表記する。なお、8 と B が紛らわしいことを理由に、"Ten"と"Eleven"の頭文字を取って、十を T 、十一を E と表記する例もある。

本節では慣用に従い、通常のアラビア数字を十進記数法で表記し、十二進記数法の表記を括弧および下付の 12 で表す。また、必要に応じて、十進記数法の表記も括弧及び下付の 10 で表す。十二進記数法で表された数を十二進数と呼ぶ。十二進法の位取りでは、左に一桁動くと十二倍になり、右に一桁動くと十二分の一になる。言い換えると、整数第二位は「十二の位」、整数第三位は「百四十四の位」である。

(12)12 という表記において、左の「1」は十二を意味し、右の「2」は二を意味し、合わせて「十四」を意味する。

数列の進み方十進法01234567891011121314151617181920
十二進法0123456789AB101112131415161718

十進法132133134135136137138139140141142143144145146147148149150151
十二進法B0B1B2B3B4B5B6B7B8B9BABB100101102103104105106107

数列の進み方も、上記の表のように、十進数の 14 が十二進数では 12 となり、二桁の最後も BB となる。

5以降の素数は、一の位が 1, 5, 7, B のいずれか、すなわち 3 と 9 を除く奇数になる。例えば：

十進法の13 → 十二進法では11

十進法の17 → 十二進法では15

十進法の79 → 十二進法では67

十進法の107 → 十二進法では8B

十進法の126 → 十二進法ではA6

となる。
倍数の法則


3の倍数は末尾が0、3、6、9のいずれか。

4の倍数は末尾が0、4、8のいずれか。

6の倍数は末尾が0か6のいずれか。

Bの倍数は数字和がBとなる数。

整数の数値

十二進表記の整数は、以下の数値になる。

(30)10 = (26)12 (2×121 + 6)

(45)10 = (39)12 (3×121 + 9)

(60)10 = (50)12 (5×121)

(90)10 = (76)12 (7×121 + 6)

(100)10 = (84)12 (8×121 + 4)

(135)10 = (B3)12 (11×121 + 3)

(144)10 = (100)12 (1×122)

(270)10 = (1A6)12 (1×122 + 10×121 + 6)

(360)10 = (260)12 (2×122 +6×121)

(720)10 = (500)12 (5×122)

(810)10 = (576)12 (5×122 + 7×121 + 6)

(1080)10 = (700)12

(1600)10 = (B14)12 (11×122 + 1×121 + 4)

(1728)10 = (1000)12 (1×123)

(2000)10 = (11A8)12 (1×123 + 1×122 + 10×121 + 8)

(2112)10 = (1280)12 (1×123 + 2×122 + 8×121)

(3077)10 = (1945)12 (1×123 + 9×122 + 4×121 + 5)

(5022)10 = (2AA6)12 (2×123 + 10×122 + 10×121 + 6)

(10368)10 = (6000)12 (6×123)

(20736)10 = (10000)12 (1×124)

整数の計算例


十進法からの換算

十進法の 2000 - 60 = 1940 → 十二進法では 11A8 - 50 = 1158

十進法の 45 × 16 = 720 → 十二進法では 39 × 14 = 500

十進法の 212 = 4096 → 十二進法では 210 = 2454


十二進法→十進法

十二進法の 50 ÷ 2 = 26 → 十進法では 60 ÷ 2 = 30

十二進法の 700 ÷ 7 = 100 →　十進法では 1008 ÷ 7 = 144

十二進法の 1000 ÷ 4 = 300 → 十進法では 1728 ÷ 4 = 432


累乗数の換算表

以下の表に、十二進数で表記した十二の累乗数と、それを十進数（底が二の五倍）に換算した数値を掲載する。万や億との対比を判り易くするため、桁は四つごとに区切る。

十二の累乗数の換算指数十二進数十進数に換算
11012
2100144
310001728
41 00002 0736
510 000024 8832
6100 0000298 5984
71000 00003583 1808
81 0000 00004 2998 1696
910 0000 000051 5978 0352
A100 0000 0000619 1736 4224
B1000 0000 00007430 0837 0688
101 0000 0000 00008 9161 0044 8256

十進数との互換

十進数を十二進数に変換するには、整数部分はそのまま十二進数に変換し、小数部分は十二の累乗数を十進数に変換した数値を掛ける。

（例）十進数 42.195

整数：42(10) = 36(12)

小数の分母：1000(10) → 144(10)（十二進換算値：6B4(12) → 100(12)）

195 × 0.144 = 28.08 → 28(10)

28(10) = 24(12)

よって、42.195(10) ≒ 36.24(12) となる。
小数と除算

桁が一つ動く度に数が十二倍変わるため、小数第一位は「十二分の一の位」、小数第二位は「百四十四分の一の位」となる。

(0.1)12 = 1/12 (1×12-1)

(0.5)12 = 5/12 (5×12-1)

(0.A)12 = 10/12 (10×12-1)

(0.01)12 = 1/144 (1×12-2)

(0.03)12 = 3/144 (3×12-2)

(0.14)12 = 16/144 (1×12-1 + 4×12-2)

(0.75)12 = 89/144 (7×12-1 + 5×12-2)

(0.76)12 = 90/144 (7×12-1 + 6×12-2)

(0.001)12 = 1/1728 (1×12-3)

十二と五は互いに素なので、.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}5/10 や 75/100は約分できず、既約分数になる。
計算例
加減算の例

十二進法では十二倍ごとに桁を変えるので、小数では「y年m箇月」の計算が容易になる。
7.6 + 1A.6 = 26


この十二進数の数式を十進数で解釈すれば、「7年6箇月 + 22年6箇月 = 30年」と見ることができる。桁を一つ繰り上げると、76(12)箇月=90(10)箇月、1A6(12)箇月=270(10)箇月、260(12)箇月=360(10)箇月となり、数字と月数が一致する。

1200.B - 4.6 = 11B8.5


この数式を十進数で換算すると、「2016と11/12 - 4と6/12 = 2012と5/12」となる。これを別の言い方をすると、「2016年11月の4年6箇月前は、2012年5月」ということがすぐに判る。

これを十進数でやると、帯分数にせざるを得ず、小数化すると循環小数になって正確な値を出しにくい。上記の十二進数の数式も、十進数では「2016.91666… - 4.5 = 2012.41666…」になってしまう。

2の演算の例
3×5/4 = 3.9(12)

3×5/4、すなわち十進分数の 15/4に当たる小数は、十進数では3.75(10)に対して、十二進数では3.9(12)となり小数点以下が一桁になる。これは、十進数では2の冪指数が1つ（すなわち底が単偶数）なのに対して、十二進数では2の冪指数が2つ含まれているからである。
これらの小数を分解すると、十進数では 3 + 75/100 (= 3/4) と 3 + 9/12 (= 3/4) が 15/4 で同値となる。
5/24 = 0.39(12)

前述の 3.9(12)を一桁下げた 0.39(12)は、十進数では 0.3125(10)になる。これは、素因数分解の上既約分数にすると 5/24 の小数だが、十進数の場合 5×0.0625（分子が54）で0.3125、になるのに対して、十二進数の場合 5×0.09（分子が32）で0.39になる。
このように、十進数の場合「2の4乗には5の4乗」であるのに対して、十二進数では「2の4乗には3の2乗」となり、2の冪指数が偶数の場合は分子となる3の冪指数は1/2になる。
0.39 × 6 = 1.A6

この十二進数の数式は、十進数では 0.3125×6 = 1.875となるが、小数部分を既約分数にすると 7/8 になる。7/8 すなわち 7/23の小数も、十進数では7×0.125 = 0.875で「7×53」で「7×33」の数が現れるのに対して、十二進数では7×0.16 = 0.A6 となる。つまり、2の冪指数が奇数の時、逆数の分子は6の倍数になる。
この十二進数0.A6(12)を分数化すると、十進数では 126/144 = 7/8となり、数値が一致する。
3.9 × 6 = 1A.6

前記の小数を一桁上げた数式で、十進数では 3.75×6 = 22.5となるが、小数部分を既約分数にすると 1/2 になる。
これをy年m箇月の計算に当て嵌めることも可能で、十進数で換算すると「3年9箇月の6倍は22年6箇月」とも言える。