この記事は英語版の対応するページを翻訳することにより充実させることができます。（2024年5月）翻訳前に重要な指示を読むには右にある[表示]をクリックしてください。

英語版記事を日本語へ機械翻訳したバージョン（Google翻訳）。

万が一翻訳の手がかりとして機械翻訳を用いた場合、翻訳者は必ず翻訳元原文を参照して機械翻訳の誤りを訂正し、正確な翻訳にしなければなりません。これが成されていない場合、記事は削除の方針G-3に基づき、削除される可能性があります。

信頼性が低いまたは低品質な文章を翻訳しないでください。もし可能ならば、文章を他言語版記事に示された文献で正しいかどうかを確認してください。

履歴継承を行うため、要約欄に翻訳元となった記事のページ名・版について記述する必要があります。記述方法については、Wikipedia:翻訳のガイドライン#要約欄への記入を参照ください。

翻訳後、{{翻訳告知|en|Length of a module|…}}をノートに追加することもできます。

Wikipedia:翻訳のガイドラインに、より詳細な翻訳の手順・指針についての説明があります。

抽象代数学において、加群の長さ (length) は加群の「大きさ」の尺度である。それは部分加群の最長の鎖の長さと定義され、ベクトル空間の次元の概念の一般化である。有限の長さをもつ加群は有限次元ベクトル空間と多くの重要な性質を共有する。

環と加群の理論において「大きさを測る」ために使われる他の概念は深さと高さである。これらは両方とも定義するのが幾分デリケートである。これらはまた有用な次元のさまざまなアイデアである。長さ有限の可換環は形式的な代数幾何学の関手的扱いにおいて本質的な役割を果たす。
定義

M をある環 R 上の（左または右）加群とする。 N 0 ⊊ N 1 ⊊ ⋯ ⊊ N n {\displaystyle N_{0}\subsetneq N_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq N_{n}}

の形の M の部分加群の鎖が与えられると、n を鎖の長さ (length) という。M の長さはその任意の鎖の最長の長さと定義される。そのような最大の長さが存在しなければ、M の長さは無限であるという。

環 R が左 R 加群として有限の長さをもつとき，環として有限の長さをもつという。
例

零加群は長さ 0 の唯一の加群である。長さ 1 の加群はちょうど単純加群である。

すべての有限次元ベクトル空間に対して（基礎体上の加群と見て）長さと次元は一致する。

巡回群 Z/nZ の長さは（整数環 Z 上の加群と見て）n の重複度も込めた素因数の数に等しい。

事実

加群 M が有限の長さをもつこととアルティンかつネーターであることは同値である。

M が有限の長さをもち N が M の部分加群であれば、N もまた有限の長さをもち、length(N) ? length(M) が成り立つ。さらに、N が M の真の部分加群であれば（すなわち M に等しくなければ）、length(N) < length(M) である。

加群 M1 と M2 が有限の長さをもてば、それらの直和もそうであり、直和の長さは M1 と M2 の長さの和に等しい。 0 → L → M → N → 0 {\displaystyle 0\rightarrow L\rightarrow M\rightarrow N\rightarrow 0}

を R-加群の短完全列とする。このとき M が有限の長さをもつことと L と N が有限の長さもつことは同値であり、length(M) = length(L) + length(N)

が成り立つ（この主張は前の 2 つを意味する）。

加群 M の組成列は 0 = N 0 ⊊ N 1 ⊊ ⋯ ⊊ N n = M {\displaystyle 0=N_{0}\subsetneq N_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq N_{n}=M}

の形の鎖であって N i + 1 / N i  is simple for  i = 0 , … , n − 1 {\displaystyle N_{i+1}/N_{i}{\mbox{ is simple for }}i=0,\dots ,n-1}

であるようなものである。すべての長さ有限の加群 M は組成列をもち、すべてのそのような組成列の長さは M の長さに等しい。
関連項目

ヒルベルト?ポアンカレ級数

参考文献

Steven H. Weintraub, Representation Theory of Finite Groups AMS (2003) ISBN 0-8218-3222-0, ISBN 978-0-8218-3222-6