この項目「力の平行四辺形」は翻訳されたばかりのものです。不自然あるいは曖昧な表現などが含まれる可能性があり、このままでは読みづらいかもしれません。（原文：英語版"Parallelogram of force" 04:17, 13 Mar 2020 (UTC)）
修正、加筆に協力し、現在の表現をより自然な表現にして下さる方を求めています。ノートページや履歴も参照してください。（2020年4月）
図1: 力を表す（平行でない）ベクトルの組による平行四辺形の作図。対角線が合力を表す。

力の平行四辺形（ちからのへいこうしへんけい、英: parallelogram of force）は、物体に2つの力の加法によって得られる平行四辺形である。力の平行四辺形は、2つの力の合力を図示するためにしばしば用いられる。

2つより多くの力のなす図形はもはや平行四辺形ではなくなるが、それらの合力がなす図として同様に平行四辺形を作図できる。例えば、図1では、F2 の始点が F1 の終点と一致するように F2 を移動させるのと、F1 の始点と F2 の終点を結ぶベクトルを正味の力とするのとでは同じ結果になる。3つのベクトル F1, F2, G の合力の場合も同様に、Fnet = F1 + F2 と G のなす平行四辺形として作図できる（結果は和の順序に依存しない）。
ニュートンの証明図2: 速度の平行四辺形
準備: 速度の平行四辺形

与えられた時間（例えば1秒）で粒子がAからBへの線（図2）に沿って一定の速度で移動し、同時に線ABがABの位置からDCの位置に一様に移動し、終始元の方向と平行なままであるとする。両方の運動を考慮すると、粒子は線ACをたどる。与えられた時間内の変位は速度の尺度なので、ABの長さはABに沿った粒子の速度の尺度であり、ADの長さはADに沿った線の速度の尺度であり、ACの長さはACに沿った粒子の速度の尺度である。粒子の運動はACに沿って単一の速度で移動した場合と同じである[1]。
力の平行四辺形のニュートンの証明

図1の原点（ベクトルの「尾」）にある粒子に2つの力が作用したとする。ベクトルF1とF2の長さは2つの力がある時間作用することにより粒子に生じる速度を表し、それぞれの方向はそれが作用する方向を表している。それぞれの力は独立に作用し、他の力が作用するかしないかにかかわらず特定の速度を作り出す。与えられた時間の終わりでは、粒子は両方の速度を持っている。上記の証明により、これは1つの速度Fnetと等価である。ニュートンの第2法則により、このベクトルはその速度を生み出す力の尺度でもあり、したがって、2つの力は1つの力と等価である[2]。平行四辺形を用いてなめらかな斜面上の粒子に作用する力を加える。予想通り、結果として生じる力（頭が2つの矢印）が斜面の下向きに作用し、粒子がその方向に加速することが分かる。
垂直なベクトルに対するベルヌーイの証明

力をユークリッドベクトルもしくは R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} の要素としてモデル化する。最初の仮定は2つの力の合力が実際には別の力であるというものである。すなわち、任意の2つの力 F , G ∈ R 2 {\displaystyle \mathbf {F} ,\mathbf {G} \in \mathbb {R} ^{2}} に対して、 F ⊕ G ∈ R 2 {\displaystyle \mathbf {F} \oplus \mathbf {G} \in \mathbb {R} ^{2}} が存在する。最後の仮定は2つの力の合力が回転しても変化しないことである。 R : R 2 → R 2 {\displaystyle R:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}} を任意の回転（ det R = 1 {\displaystyle \det R=1} である R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} の通常のベクトル空間構造の任意の直交写像）とすると、任意の力 F , G ∈ R 2 {\displaystyle \mathbf {F} ,\mathbf {G} \in \mathbb {R} ^{2}} に対し R {\displaystyle R} は

R ( F ⊕ G ) = R ( F ) ⊕ R ( G ) {\displaystyle R\left(\mathbf {F} \oplus \mathbf {G} \right)=R\left(\mathbf {F} \right)\oplus R\left(\mathbf {G} \right)}

を満たす。2つの力 F 1 {\displaystyle \mathbf {F} _{1}} と F 2 {\displaystyle \mathbf {F} _{2}} は垂直で、 F 1 {\displaystyle \mathbf {F} _{1}} の長さを a {\displaystyle a} 、 F 2 {\displaystyle \mathbf {F} _{2}} の長さを b {\displaystyle b} 、および F 1 ⊕ F 2 {\displaystyle \mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}} の長さを x {\displaystyle x} と仮定する。 G 1 := a 2 x 2 ( F 1 ⊕ F 2 ) {\displaystyle \mathbf {G} _{1}:={\tfrac {a^{2}}{x^{2}}}\left(\mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}\right)} および G 2 := a x R ( F 2 ) {\displaystyle \mathbf {G} _{2}:={\tfrac {a}{x}}R(\mathbf {F} _{2})} として、 R {\displaystyle R} を F 1 {\displaystyle \mathbf {F} _{1}} と F 1 ⊕ F 2 {\displaystyle \mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}} の間の回転とすると G 1 = a x R ( F 1 ) {\displaystyle \mathbf {G_{1}} ={\tfrac {a}{x}}R\left(\mathbf {F} _{1}\right)} である。