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出典検索?: "力のモーメント" ? ニュース ・ 書籍 ・ スカラー ・ CiNii ・ J-STAGE ・ NDL ・ dlib.jp ・ ジャパンサーチ ・ TWL（2011年10月）

力のモーメント
moment of force

量記号N
次元M L2 T−2
SI単位ニュートンメートル
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力のモーメント（ちからのモーメント、英語: moment of force）とは、力学において、物体に回転を生じさせるような力の性質を表す量である。力の能率（ちからののうりつ）とも呼ばれる[注 1]。また、明らかな場合は単にモーメントと呼ばれることもある。とくに機械などで固定された回転軸をもつ場合、その回転軸のまわりの力のモーメントをトルク（torque）またはねじりモーメントと呼ぶ。これに対して軸と直交するモーメントは曲げモーメントと呼ぶ。

国際単位系における単位はニュートンメートル（N m）である。

古典力学
F = d d t ( m v ) {\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(m{\boldsymbol {v}})}
運動の第2法則
歴史（英語版）

分野

静力学  · 動力学 / 物理学における動力学  · 運動学  · 応用力学  · 天体力学  · 連続体力学  · 統計力学

定式化


ニュートン力学

解析力学:

ラグランジュ力学

ハミルトン力学

基本概念

空間 · 時間 · 速度 · 速さ · 質量 · 加速度 · 重力 · 力 · 力積 · トルク / モーメント / 偶力 · 運動量 · 角運動量 · 慣性 · 慣性モーメント · 基準系 · エネルギー · 運動エネルギー · 位置エネルギー · 仕事 · 仮想仕事 · ダランベールの原理

主要項目

剛体 · 運動 · ニュートン力学 · 万有引力 · 運動方程式 · 慣性系 · 非慣性系 · 回転座標系 · 慣性力 · 平面粒子運動力学 · 変位 · 相対速度 · 摩擦 · 単振動 · 調和振動子 · 短周期振動 · 減衰 · 減衰比 · 自転 · 回転 · 円運動 · 非等速円運動 · 向心力 · 遠心力 · 遠心力 (回転座標系) · 反応遠心力 · コリオリの力 · 振り子 · 回転速度 · 角加速度 · 角速度 · 角周波数 · 偏位角度

科学者

ニュートン · ケプラー · ホロックス · オイラー · ダランベール · クレロー · ラグランジュ · ラプラス · ハミルトン · ポアソン

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表

話

編

歴


概要

物体に2つの力が作用するとき、2つの力が釣り合う条件は
2つの力の大きさが等しい

2つの力の方向が反対

2つの力の作用線が一致する

1番目と2番目の条件は、力をベクトルとして表したとき、力のベクトル和がゼロと表される。3番目の条件は、力のモーメントを導入することで、モーメントの和がゼロと表される。

2つの力の作用線が一致していないとき、つまり、力のモーメントの和がゼロでないとき、物体は作用線を一致させるように回転する。言い換えれば、力のモーメントは物体を回転させるような力の性質である。物体を回転させるために必要な力の大きさは、力が作用する位置によって異なり、回転中心からの作用線の距離に反比例する（てこの原理）。力のモーメントを作用線の距離に比例するように定義することで、等しい力のモーメントに対して物体は同じように回転する。従って、力のモーメントは一次のモーメントである。

物体に3つ以上の力が作用するとき、それらの力が釣り合う条件は、力のベクトル和とモーメントの和がそれぞれにゼロとなることである。力のベクトル和がゼロであるが、モーメントがゼロでないような力はとくに偶力と呼ばれる。一般に、力のモーメントは中心をどこに選ぶかによって変わる。しかし、作用する力のベクトルの和がゼロであるときは中心の選び方によらない。つまり、釣り合い条件はモーメントの中心の選び方によらない。また、偶力はモーメントの中心の選び方によらない。

物体に作用する2つの力の系で、力のベクトルの和とモーメントの和がそれぞれに等しいとき、それらは等価である。変形が無視できる剛体に作用する等価な力の系は同等で、それぞれ置き換えることができる。特に、一点に集中して作用する力と偶力の系に置き換えることができる。
定義

点 P のまわりの力のモーメント N [注 2]は以下のように定義される[1][2]。

N = r × F {\displaystyle {\boldsymbol {N}}={\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {F}}}

ここで F は力、r は点 P と力の及ぼされる点（作用点[3]）を結ぶ位置ベクトルである。記号 × はベクトル積を表す[注 3]。

作用点を通り力 F と平行な直線を作用線（さようせん、英: line of action）と呼ぶ[3]。一般に力のモーメントは基準点 P の取り方に依存する[1]が、作用点および作用線は点 P とは独立に定義され、従って力のモーメントとは独立に定義される。

幾何学的に力のモーメントは、作用線と基準点 P の距離 d[注 4] と力の大きさ F := 。 F 。 {\displaystyle F:=|{\boldsymbol {F}}|} の積に大きさが等しく（|N| ? N = dF）、作用線と点 P を含む平面に対して垂直なベクトルと見なせる[注 5]。
性質
作用点の移動

作用点が作用線上を動く限りにおいて、力のモーメントは変化しない。これはベクトルの計算によって導くことができる。作用点を r {\displaystyle {\boldsymbol {r}}} から r + a {\displaystyle {\boldsymbol {r}}+{\boldsymbol {a}}} へ移動した場合、移動後の力のモーメント N ′ {\displaystyle {\boldsymbol {N}}'} は

N ′ = ( r + a ) × F = N + a × F {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {N}}'&=({\boldsymbol {r}}+{\boldsymbol {a}})\times {\boldsymbol {F}}\\&={\boldsymbol {N}}+{\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {F}}\end{aligned}}}

となる。作用点の移動が作用線に沿った移動の場合、a が力 F と平行であるため右辺第2項は0となって N ′ = N {\displaystyle {\boldsymbol {N}}'={\boldsymbol {N}}} が導かれ、力のモーメントは変化しないことが示される。
モーメント中心の移動

力のモーメントはその定義より基準点 P の取り方に依存する。異なる基準点 Q へ移り変わった際の力のモーメントの変化は、作用点と基準点を結ぶ位置ベクトルの計算によって求められる。

点 P と点 Q を結ぶ線分を位置ベクトル q で表すと、点 Q と各作用点を結ぶ位置ベクトルは r i − q {\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{i}-{\boldsymbol {q}}} と書け、また個別のモーメントは ( r i − q ) × F i {\displaystyle ({\boldsymbol {r}}_{i}-{\boldsymbol {q}})\times {\boldsymbol {F}}_{i}} と書ける。ベクトル積について分配法則が成り立つから、点 Q のまわりの力のモーメントは

N Q = N P − q × ∑ i F i {\displaystyle {\boldsymbol {N}}_{\mathrm {Q} }={\boldsymbol {N}}_{\mathrm {P} }-{\boldsymbol {q}}\times \sum _{i}{\boldsymbol {F}}_{i}}