「商環」はこの項目へ転送されています。環に分数を付加する方法については「全商環」をご覧ください。
この項目では、環の構成法の一種について説明しています。有理整数環の合同類については「剰余類環」をご覧ください。
数学の一分野、環論における商環（しょうかん、英: quotient ring）、剰余環（じょうよかん、英: factor ring）あるいは剰余類環（じょうよるいかん、英: residue class ring）とは、群論における剰余群や線型代数学における商線型空間に類似した環の構成法およびその構成物である[1][2]。すなわち、はじめに環 R とその両側イデアル I が与えられたとき、剰余環 R/I と呼ばれる新しい環が、I の全ての元が零元に潰れる（I による違いを「無視」するともいえる）ことで得られる。
注意: 剰余環は商環とも呼ばれるけれども、整域に対する商体（分数の体）と呼ばれる構成とは異なるし、全商環（商の環、これは環の局所化の一種）とも異なる。
厳密な剰余環構成[ソースを編集]
環 R とその両側イデアル I が与えられたとき、R 上の同値関係 ~ をa ~ b ⇔ b ? a ∈ I
で定める。a ~ b が成立することを「a と b はイデアル I を法として合同である」という。イデアルの性質から、これが合同関係を定義することを確かめるのは難しくない。
R の元 a の属する同値類は [ a ] = a + I := { a + r ∣ r ∈ I } {\displaystyle [a]=a+I:=\{a+r\mid r\in I\}}
で与えられる。この同値類は a mod I とも書き、「a を I で割った剰余類」("residue class of a modulo I") と呼ばれる。
このような同値類全体の成す集合を R/I で表せば、これは ( a + I ) + ( b + I ) := ( a + b ) + I ; ( a + I ) ( b + I ) := ( a b ) + I {\displaystyle {\begin{aligned}(a+I)+(b+I)&:=(a+b)+I;\\(a+I)(b+I)&:=(ab)+I\end{aligned}}}
を演算とする環となる（これが矛盾無く定義できることは確認すべきことである）。これを R を I で割った商環、あるいは剰余環という。剰余環 R/I の零元は 0 + I = I であり、乗法単位元は 1 + I で与えられる。
環 R から剰余環 R/I への全射な環準同型 π が π ( a ) := a + I {\displaystyle \pi (a):=a+I}
とおくことによって定まる。これは自然な射影や標準準同型などとも呼ばれる。
例[ソースを編集]
もっとも極端な剰余環の例は、環 R の極端なイデアル（つまり、{0} および R 自身）で割ることで得られる。剰余環 R/{0} は R に自然同型であり、剰余環 R/R は自明な環 {0} に自然同型である。これは、簡単に言うと「より小さなイデアル I で割ったほうが剰余環 R/I はより大きくなる」という一般的な法則に、適合している。I が R の真のイデアル（つまり I ≠ R）ならば R/I が自明な環になることはない。
整数全体の成す環 Z と偶数全体の成すイデアル 2Z を考えれば、剰余環 Z/2Z は偶数全体と奇数全体というただ二つの元からなる。これは二元体 F2 に自然同型である（なんとなれば、偶数全体を 0, 奇数全体を 1 と考えればよい）。合同算術とは本質的に剰余環 Z/nZ における算術のことである。
実数に係数を持つ、不定元 X に関する多項式全体の成す環 R[X] と、そのイデアル I = (X2 + 1) を考える（I は多項式 X2 + 1 の倍元の全体が成すイデアル）。剰余環 R[X]/(X2 + 1) は複素数体 C に自然同型である。特に剰余類 [X] が虚数単位 i の役割を果たす。直観的には、I で割ることは「強制的に」X2 + 1 = 0 とすることに相当するから、つまり X2 = ?1 という i を定義する性質を X（の剰余類）が持つことになる。
すぐ上の例と同様、一般に剰余環は体の拡大を構成することにもよく用いられる。K が体で、f が K[X] に属する既約多項式ならば L = K[X]/(f) は K 上の最小多項式が f であるような元による体の拡大とみなせる。また、これは K や x = X + (f) を含む体である。
同様の例として、剰余環は有限体の構成においても重要である。三元体 F3 = Z/3Z の場合、多項式 f(X) = X2 + 1 は F3 上で既約である（実際、F3 に根を持たない）。剰余環 F3[X]/(f) を構成すれば、これは 32 = 9 個の元を持つ体であり、F9 で表される。他の有限体も同様の方法で構成できる。
代数多様体の座標環は代数幾何学における剰余環の重要な例である。簡単な場合として、実代数多様体 V = {(x,y) 。x2 = y3} を実平面 R2 の部分集合とみる。V 上で定義される実数値多項式函数の全体が成す環は剰余環 R[X,Y]/(X2 ? Y3) に同一視されて、これを V の座標環とみなす。これにより代数多様体 V を調べることが、この座標環を調べることに帰着される。
M が C∞-多様体で p が M の元とするとき、M 上定義された C∞-級函数全体の成す環 R = C∞(M) と、そのような函数 f のうちで点 p の適当な近傍 U で（U は f ごとに異なってもよい）恒等的に消えているようなもの全体からなるイデアル I を考えると、剰余環 R/I は点 p における M 上のC∞-級函数の芽全体の成す環となる。
F を超実数体 *R の有限な元からなる環とする。これは標準実数とは無限小の寄与の分だけ異なる超実数全体からなる。言い換えれば、F は標準整数 n を十分大きく取れば ?n < x < n とできるような超実数 x 全体からなる。また集合 I を *R の無限小の全体に 0 を合わせて得られるものとすると、これは F のイデアルとなり、剰余環 F/I は標準実数体 R に同型となる。この同型は F の各元 x に x の標準部分
