数学において、多項式の判別式（はんべつしき、英: discriminant）とは、その多項式の根が重根を持つための条件を与える、元の多項式係数の多項式で、最小のもののことである。

一般にdiscriminantの頭文字を取って、D で表記される。
概要

"discriminant"（判別式）という用語は1851年にイギリス人数学者ジェームス・ジョセフ・シルベスターによって造り出された[1]。

通常は、大文字の D あるいは大文字の Δ で表記される。

具体的には、以下の式で定義される：x の n次式anxn + an−1xn−1 + … + a1x + a0 (an ≠ 0)の重複を含めた根を α1, …, αn とすると、 D = a n 2 n − 2 ∏ i , j ( i < j ) ( α i − α j ) 2 = ( − 1 ) n ( n − 1 ) / 2 a n 2 n − 2 ∏ i , j ( i ≠ j ) ( α i − α j ) {\displaystyle D={a_{n}}^{2n-2}\textstyle \prod \limits _{i,j(i<j)}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}=(-1)^{n(n-1)/2}{a_{n}}^{2n-2}\prod \limits _{i,j(i\neq j)}(\alpha _{i}-\alpha _{j})}

この定義式は、次の手順から、係数 an, an−1, …, a1, a0 の分数式である（実際には多項式になる）。
D は α1, …, αn の対称式である。

α1, …, αn の対称式は、α1, …, αn の基本対称式の多項式で表せる。

α1, …, αn の基本対称式は、根と係数の関係より、α1, …, αn の分数式である。//

判別式 D を係数 an, an−1, …, a1, a0 で表すには、終結式（シルべスター行列の行列式）を用いるのが最も簡明である：多項式 f の判別式 D は、f とその導関数 f' の終結式に ( − 1 ) n ( n − 1 ) / 2 a n {\displaystyle {\frac {(-1)^{n(n-1)/2}}{a_{n}}}} を掛けた値に等しい。すなわち、 D = ( − 1 ) n ( n − 1 ) / 2 a n 。 a n a n − 1 ⋯ ⋯ a 0 ⋱ ⋱ ⋱ a n a n − 1 ⋯ ⋯ a 0 n a n ( n − 1 ) a n − 1 ⋯ 1 a 1 ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ n a n ( n − 1 ) a n − 1 ⋯ 1 a 1 。 {\displaystyle D={\frac {(-1)^{n(n-1)/2}}{a_{n}}}{\begin{vmatrix}a_{n}&a_{n-1}&\cdots &\cdots &a_{0}&&\\&\ddots &\ddots &&&\ddots &\\&&a_{n}&a_{n-1}&\cdots &\cdots &a_{0}\\na_{n}&(n-1)a_{n-1}&\cdots &1a_{1}&&&\\&\ddots &\ddots &&\ddots &&\\&&\ddots &\ddots &&\ddots &\\&&&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&\cdots &1a_{1}\end{vmatrix}}} （対角成分に an が (n − 1)個、1a1 が n個）

二次方程式 ax2 + bx + c = 0 の判別式は Δ = b 2 − 4 a c {\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac}

である。

三次方程式 ax3 + bx2 + cx + d = 0 の判別式は Δ = b 2 c 2 − 4 a c 3 − 4 b 3 d − 27 a 2 d 2 + 18 a b c d {\displaystyle \Delta =b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd}

である。

四次方程式 ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 の判別式は Δ = 256 a 3 e 3 − 192 a 2 b d e 2 − 128 a 2 c 2 e 2 + 144 a 2 c d 2 e − 27 a 2 d 4   + 144 a b 2 c e 2 − 6 a b 2 d 2 e − 80 a b c 2 d e + 18 a b c d 3 + 16 a c 4 e   − 4 a c 3 d 2 − 27 b 4 e 2 + 18 b 3 c d e − 4 b 3 d 3 − 4 b 2 c 3 e + b 2 c 2 d 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta =&\;256a^{3}e^{3}-192a^{2}bde^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}+144a^{2}cd^{2}e-27a^{2}d^{4}\\&\ +144ab^{2}ce^{2}-6ab^{2}d^{2}e-80abc^{2}de+18abcd^{3}+16ac^{4}e\\&\ -4ac^{3}d^{2}-27b^{4}e^{2}+18b^{3}cde-4b^{3}d^{3}-4b^{2}c^{3}e+b^{2}c^{2}d^{2}\end{aligned}}}