確率論や情報科学や力学系で使用されている分配函数 (ぶんぱいかんすう、英: partition function) は、統計力学で定義されている分配函数の一般化である。確率論では、正規化された値の分配函数が、ボルツマン分布である。分配函数は、多くの概念と互いに固く結び付いて、様々な種類の量を計算することが可能な一般的なフレームワークを提供する。特に、分配函数はどのように期待値やグリーン函数を計算するのかを示していて、フレドホルム理論への橋渡しともなっている。

複素射影空間や射影ヒルベルト空間（英語版）上の確率変数の設定が、フビニ・スタディ計量を持つよう幾何学化されると、量子力学の理論や、より一般的には場の量子論を結果としてもたらす。これらの理論での分配函数は、経路積分定式化により非常に優れた開発がなされ、大きく成功している。そこでは、本記事でレビューする多くの公式とほぼ同じ公式を導くことができる。しかしながら、基礎となっている測度空間は、確率論では実数に値をとり単純であったことに対し、（量子力学や場の理論の中では）複素数に値をとり、多くの公式の中に余剰なファクタである i が現れる。このファクタを追跡することは困難であるので、ここでは行わない。本記事では、はじめに確率の総和が 1 である古典的な確率論へ焦点を当てる。

別な話題として、分配函数は、情報理論への自然な情報幾何学的アプローチを可能とする。そこの分野では、フィッシャー情報計量（英語版）(Fisher information metric) を分配函数から導出された相関函数であると理解できる。情報幾何学では、リーマン多様体を定義するということが起きる。

確率論では、多くの問題の中に分配函数が発生する。自然な対称性を持つ状況下では、状況に付帯する確率測度であるギッブス測度（英語版）(Gibbs measure) はマルコフ性を持つ。このことは、分配函数が遷移的な対称性を持つ場合にのみ発生することを意味している。しかし、そのような変化する状況下では、神経ネットワーク（ホップフィールド・ネットワーク (Hopfield network)）やゲノミクス、コーパス言語学や人工知能などの分野への応用があり、マルコフネットワーク（英語版）(Markov network) やマルコフ論理ネットワーク（英語版）(Markov logic network) という考え方がある。ギッブス測度は、固定されたエネルギー期待値のエントロピーを最大とする性質を持つ唯一の測度でもある。最大エントロピー原理や、これから得られたアルゴリズムの中に分配函数が現れることが、これらの背景となっている。
定義

値 x i {\displaystyle x_{i}} をとる 確率変数 X i {\displaystyle X_{i}} の組みと、あるポテンシャル函数、あるいはあるハミルトニアン H ( x 1 , x 2 , … ) {\displaystyle H(x_{1},x_{2},\dots )} が与えられると、分配函数は次のように定義される。 Z ( β ) = ∑ x i exp ⁡ ( − β H ( x 1 , x 2 , … ) ) {\displaystyle Z(\beta )=\sum _{x_{i}}\exp \left(-\beta H(x_{1},x_{2},\dots )\right)}

函数 H は状態の空間 { X 1 , X 2 , ⋯ } {\displaystyle \{X_{1},X_{2},\cdots \}} の上の実数に値を持つ函数であり、 β {\displaystyle \beta } は実数に値を取る自由なパラメータ（伝統的には逆温度）である。 x i {\displaystyle x_{i}} の和は、各々の確率変数 X i {\displaystyle X_{i}} が取りうる全ての可能な値を渡る和である。このように、和は X i {\displaystyle X_{i}} が離散的ではなく連続函数のときには、積分によって与えられることとなる。従って、連続的に変化する X i {\displaystyle X_{i}} の場合は、 Z ( β ) = ∫ exp ⁡ ( − β H ( x 1 , x 2 , … ) ) d x 1 d x 2 ⋯ . {\displaystyle Z(\beta )=\int \exp \left(-\beta H(x_{1},x_{2},\dots )\right)dx_{1}dx_{2}\cdots .}

となる。

H が有限次元の行列や無限次元のヒルベルト空間上の作用素やC*-環のような観測可能量のとき、トレースとして表すことが一般的であるので、 Z ( β ) = tr ( exp ⁡ ( − β H ) ) {\displaystyle Z(\beta )={\mbox{tr}}\left(\exp \left(-\beta H\right)\right)}

と表す。H が無限次元のときにも、上記の記述が意味を持つには、アーギュメントがトレースクラス、つまり和が存在して有界であるような形をしている必要がある。

確率変数 X i {\displaystyle X_{i}} の個数は可算である必要はなく、その場合には和が汎函数積分（英語版）に置き換わる。汎函数積分には多くの記法があるが、一般的な書き方をすると Z = ∫ D ϕ exp ⁡ ( − β H [ ϕ ] ) {\displaystyle Z=\int {\mathcal {D}}\phi \exp \left(-\beta H[\phi ]\right)}

となる。

これは場の量子論の分配函数である。

一般的に、分配函数を変形するには、補助函数を導入することが必要となる。このことは、分配函数を場の量子論の相関函数の母函数として使うことの例を与える。この詳細は以下で議論する。
パラメータ β

パラメータ β {\displaystyle \beta } の役割と意味は、様々に理解される。古典熱力学では、 β {\displaystyle \beta } は逆温度である。さらに一般的には、確率変数 X {\displaystyle X} を持つ函数の共役変数（英語版）である。ここでの共役とは、ラグランジュ力学での一般化座標系の共役という意味であり、特に β {\displaystyle \beta } をラグランジュの未定乗数と言う。 β {\displaystyle \beta } のことを、一般化された力（英語版）(generalized force)と言うこともある。一般に、この考え方は、複数の変数が複雑な方法で相互に関連づけられて変化するとき、ある変数を一つだけ取り出し、その変数がある値に固定されるようにして考える考え方である。今の場合には、たとえ多くの異なる確率分布が、（たまたま）ある固定された値に一致することがあったとしても、固定された値は函数 H {\displaystyle H} の期待値になるようにする。

一般の場合には、確率変数 X i {\displaystyle X_{i}} に依存する函数 { H k ( x 1 , ⋯ ) } {\displaystyle \{H_{k}(x_{1},\cdots )\}} の集合を考える。これらの函数は、何らかの理由で期待値が定数として保持されるよう選択する。この方法では期待値を固定するため、ラグランジュの未定乗数法を使い、エントロピー最大原理により、ものごとがどのようになるかを決定する。

いくつかの具体例を順番に述べる。基本的な熱力学の問題では、カノニカル分布を使うとき、まさにパラメータ β {\displaystyle \beta } を使う。