微分法の分野における全微分（ぜんびぶん、英: total differential）は多変数の場合の函数の微分である。

M を Rn（あるいはより一般に可微分多様体）の開集合として、全微分可能な函数 f: M → R の全微分を df と書けば、これは d f = ∑ i = 1 n ∂ f ∂ x i d x i {\displaystyle {\mathit {df}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\,{\mathit {dx}}_{i}}

のように表される。全微分と偏微分の区別のため、全微分には "丸くない d" を用い、偏微分には "丸い d" つまり ∂ を用いる。以下、扱う函数は全て全微分を持つものと仮定するから、同時にそれは偏微分可能であり、また df は上記の式として表すことが可能となることに注意。

伝統的には、あるいは現代においても自然科学などの分野においてしばしば、微分 dx, dt, … などを無限小として扱う。一方現代数学的な取扱いでは、微分形式（特に微分 1-形式）と考える。これは完全に形式的な式と考えることもできるし、線型写像として扱うこともできる。函数 f の点 x における微分 df(x) は、各ベクトル v に対して x を通る v-方向への方向微分を対応付ける線型写像になる。この意味において全微分は、全微分係数（全導函数）である。このことは函数の終域を Rn やほかのベクトル空間あるいは多様体に取り換えても通用する。
全微分と線型近似

全微分可能な函数 f: Rn → R の点 p ∈ Rn における全微分商 (total derivative) は、函数 h ↦ f ( p + h ) − f ( p ) {\displaystyle h\mapsto f(p+h)-f(p)}

を近似する線型写像であり、h1, …, hn が十分小さいとき f ( p + h ) − f ( p ) ≈ ∑ i = 1 n ∂ f ∂ x i ( p ) h i ( h = ( h 1 , … , h n ) ) {\displaystyle f(p+h)-f(p)\approx \sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(p)\,h_{i}\quad (h=(h_{1},\dots ,h_{n}))}

と書くことができる。

現代数学において、この写像は f の p における全微分 (total differential) df(p) と呼ばれる（この意味において、全微分商と全微分は同義である）。微分小 dxi を h の第 i-成分 hi を対応させる写像 dxi(h) = hi と見れば、写像としての等式 d f ( p ) = ∑ i = 1 n ∂ f ∂ x i ( p ) d x i {\displaystyle {\mathit {df}}(p)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(p){\mathit {dx}}_{i}}

が成り立ち、上記の近似式は f ( p + h ) − f ( p ) ≈ [ d f ( p ) ] ( h ) {\displaystyle f(p+h)-f(p)\approx [\mathrm {d} f(p)](h)}

と書くことができる。微小変分としての微分小

伝統的には、自然科学の広範な分野において、微分小 dxi を微小変分 hi それ自身と考えることがよく行われる。このとき、f の全微分 df はその変分の線型主要部であり、上記の近似式は Δ f = f ( p + d x ) − f ( p ) ≈ d f {\displaystyle \Delta f=f(p+{\mathit {dx}})-f(p)\approx {\mathit {df}}}

あるいは f ( p + d x ) ≈ f ( p ) + d f {\displaystyle f(p+{\mathit {dx}})\approx f(p)+{\mathit {df}}}

と書くことができる。
線型写像としての全微分
実線型空間

M がベクトル空間 Rn の開集合で、f: M → R は微分可能とする。任意の点 p ∈ M における全微分 df(p): Rn → R は、各ベクトル v = (v1, …, vn) に対して方向微分を割り当てる線型写像、即ち d f ( p ) : R n → R ; v ↦ ∂ v f ( p ) = d d t f ( p + t v ) 。 t = 0 = ∑ i = 1 n ∂ f ∂ x i ( p ) v i {\displaystyle {\mathit {df}}(p)\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ;\;v\mapsto \partial _{v}f(p)=\left.{\frac {d}{\mathit {dt}}}f({p}+t{v})\right|_{t=0}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}(p)v^{i}}

である。df(p) は R-値であるから、これは線型形式であり、また dxi をベクトルの第 i-成分を取り出す写像（双対基底） d x i ( v ) = d x i ( v 1 , … , v n ) = v i {\displaystyle {\mathit {dx}}^{i}(v)={\mathit {dx}}^{i}(v^{1},\ldots ,v^{n})=v^{i}}

とすれば、上記は d f ( p ) = ∑ i = 1 n ∂ f ∂ x i ( p ) d x i {\displaystyle {\mathit {df}}(p)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}(p)\,{\mathit {dx}}^{i}}

と書ける。あるいはまた勾配を用いて [ d f ( p ) ] ( v ) = ∇ f ( p ) ⋅ v = grad ⁡ ( f ) ⋅ v {\displaystyle [{\mathit {df}}(p)](v)=\nabla f(p)\cdot v=\operatorname {grad} (f)\cdot v}

と書くこともできる。右辺は点乗積である。
多様体詳細は「接空間」を参照

一般の場合において、点 p ∈ M における全微分 df(p): TpM → R は接ベクトル v ∈ TpM に対して、その方向への方向微分を割り当てる。接ベクトル v = ·γ(0)（γ は γ(0) = p を満たす M 内の曲線）に対し、 [ d f ( p ) ] ( v ) = d d t ( f ∘ γ ( t ) ) 。 t = 0 {\displaystyle [{\mathit {df}}(p)](v)=\left.{\frac {d}{\mathit {dt}}}(f\circ \gamma (t))\right|_{t=0}}

である。従って全微分 df(p) は M の点 p における余接空間 T∗
pM の元である。

df を適当な座標系のもとで表示するために、点 p の近傍 U で定義された写像 y: U → Rn で y(p) = 0 となるものをとる。Rn の標準基底を e1, …, en とすれば、相異なる n この曲線 γi(t) := y−1(t · ei) は ·γ1(0), …, ·γn(0) が TpM の基底であり、 ∂ f ∂ y i ( p ) = d d t ( f ∘ γ i ( t ) ) 。 t = 0 = ∂ ∂ x i ( f ∘ y − 1 ) ( 0 ) {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y^{i}}}(p)=\left.{\frac {d}{\mathit {dt}}}(f\circ \gamma _{i}(t))\right|_{t=0}={\frac {\partial }{\partial x_{i}}}(f\circ y^{-1})(0)}

と偏微分を得ることができる。先の例と同様に dyi: TpM → R は写像 yi: U → R の全微分とすれば、これは T∗
pM の元であって、·γi(0) の双対基底を成し、上記は d f ( p ) = ∑ i = 1 n ∂ f ∂ y i ( p ) d y i {\displaystyle {\mathit {df}}(p)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial y^{i}}}(p)\,{\mathit {dy}}^{i}}