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出典検索?: "冪集合" ? ニュース ・ 書籍 ・ スカラー ・ CiNii ・ J-STAGE ・ NDL ・ dlib.jp ・ ジャパンサーチ ・ TWL（2016年1月）
S = {x, y, z} の冪集合 P(S) = { Φ, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {y, z}, {z, x}, {x, y, z} } のハッセ図。要素数は 23 = 8 である。

冪集合（べきしゅうごう、英: power set）とは、数学において、与えられた集合から、その部分集合の全体として新たに作り出される集合のことである。べきは冪乗の冪（べき）と同じもので、冪集合と書くのが正確だが、一部分をとった略字として巾集合とも書かれる。

集合と呼ぶべき対象を公理的にかつ構成的に与える公理的集合論では、新たに作られた原体の冪集合もしくはそれに準ずる複数の冪集合が、それぞれの連続性に関わらず集合と呼ばれるべきもののうちにあることを公理の一つ（冪集合公理）としてしばしば提示する。
記法

集合 S {\displaystyle S} の冪集合は、冪を表す power からとって、通常は P ( S ) ,   P ( S ) ,   p o w ( S ) ,   P o w e r ( S ) ,   Π ( S ) , P ( S ) {\displaystyle {\mathfrak {P}}(S),\ {\mathcal {P}}(S),\ {\mathfrak {pow}}(S),\ \mathrm {Power} (S),\ \Pi (S),\;\mathbb {P} (S)} , ℘(S), 2S

などのように記される。2S という表記は、一般に XY が Y から X への写像全体の集合を表すことによる（後述）。
定義

集合 S が与えられたとき、S のすべての部分集合からなる集合 P ( S ) := { A : a set ∣ A ⊆ S } {\displaystyle {\mathfrak {P}}(S):=\{A\colon {\mbox{a set}}\mid A\subseteq S\}}

を S の冪集合と呼ぶ。例えば

P ( ∅ ) = { ∅ } {\displaystyle {\mathfrak {P}}(\varnothing )=\{\varnothing \}}

P ( { a } ) = { ∅ , { a } } {\displaystyle {\mathfrak {P}}(\{a\})=\{\varnothing ,\{a\}\}}

P ( { x , y } ) = { ∅ , { x } , { y } , { x , y } } {\displaystyle {\mathfrak {P}}(\{x,y\})=\{\varnothing ,\{x\},\{y\},\{x,y\}\}}

P ( { 1 , 2 , 3 } ) = { ∅ , { 1 } , { 2 } , { 3 } , { 1 , 2 } , { 1 , 3 } , { 2 , 3 } , { 1 , 2 , 3 } } {\displaystyle {\mathfrak {P}}(\{1,2,3\})=\{\varnothing ,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}}

などとなる。空集合の冪集合は空集合を唯一つの元として持つ一元集合であり、空集合とは別のものである。

なおこの定義から明らかに A ∈ P ( S ) ⟺ A ⊂ S {\displaystyle A\in {\mathfrak {P}}(S)\iff A\subset S}

である。
構造
包含関係による順序

冪集合は包含関係を順序として順序集合になる。